Проводник во внешнем электрическом поле Постоянный электрический ток Ускорители заряженных частиц Магнитные свойства вещества Уравнения Максвела в интегральной и дифференциальной форме Электромагнитные волны

Курс лекций по физике

В контрольную работу включены задачи по элементам специальной теории относительности, которые охватывают следующие вопросы; относительность одновременности, длин и промежутков времени, релятивистский закон сложения скоростей, зависимость релятивистской массы от скорости, соотношение между релятивистской массой и полной энергией. Решая эти задачи, студент должен усвоить, что законы классической механики имеют границу применимости и что они получаются как следствие теории относительности

Вынужденные механические колебания

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора Х(t), изменяющего по гармоническому закону:

X(t) = Xo×coswt

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

F = Fo× coswt. (26.55)

С учетом (26.55) закон движения для пружинного маятника (26.45) запишется в виде

Поделив всё на m, и используя уже применявшиеся нами общепринятые обозначения, получаем

 (26.56)

которое является аналогом уравнения (26.46) и служит дифференциальным уравнением механических вынужденных колебаний.

 Решение этого уравнения состоит, так же, как и (26.46), из решений неоднородного уравнения, отражающего стадию установления колебаний, и решения однородного уравнения на стадии установившихся колебаний (рис.26.9). На стадии установившихся колебаний они происходят с частотой вынуждающей силы, а амплитуда установившихся вынужденных колебаний равна

  (26.57)

Механический резонанс

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой.

Чтобы определить резонансную частоту wрез, нужно найти максимум функции (26.57) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по w и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее wрез

- 4(wо2 - w2)×w + 8b2w = 0. (26.58) 

Уравнение (26.52) имеет три решения: w = 0 и . Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение:

 (26.59)

Подставив это значение частоты в (26.57), получим выражение для амплитуды при резонансе:

  (26.60)

Из (26.60) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Согласно (26.53) резонансная частота при тех же условиях (при b = 0) совпадает с собственной частотой колебаний системы wо.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (или, что то же самое, от частоты колебаний) показана графически на рис. 26.10. Отдельные кривые на графике соответствуют различным значениям параметра b. В соответствии с (26.59) и (26.60), чем меньше b, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. При очень большом затухании (таком, что 2b2>wo2) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается - с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (см. нижнюю кривую на рис. 26.10).

 

Рис.26.10. Резонансные кривые.

Изображенная на рис. 26.10 совокупность графиков функции (26.57), соответствующих различным значениям параметра b, называется резонансными кривыми.

По поводу резонансных кривых можно сделать еще следующие замечания. При стремлении wo к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному  Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины Fo. При стремлении wo к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия. Наконец, отметим, что чем меньше b, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается максимум.

Гармонический осциллятор. Единая теория колебаний при анализе математически идентичных физических систем использует обобщающее понятие гармонического осциллятора, не различающего в принципе колебательные процессы в электрическом колебательном контуре и в системах, совершающих механические колебания.

Энергия свободных механических колебаний

Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний, как мы выяснили выше, происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения из положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения Ерmax

Свободные затухающие механические колебания пружинного маятника.

Сложение колебаний (колебания в системах с несколькими степенями свободы) Рассмотренные в предыдущих параграфах закономерности колебательных движений являются простейшими в том смысле, что они характеризуют свойства изолированного колебания. Такие колебания происходят в системах с одной степенью свободы (рассматривается движение под действием сил, направленных вдоль единственной оси, например, Х).

Сложение колебаний одинакового направления Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же направления. Если, например, подвесить шарик на пружине к потолку вагона, качающегося на рессорах, то движение шарика относительно поверхности Земли будет складываться из колебаний вагона относительно Земли и колебаний шарика относительно вагона.

Приступая к изучению раздела "Основы молекулярной физики и термодинамики", студенты должны уяснить, что существуют два качественно различных и взаимодополняющих метода исследования физических свойств макроскопических систем - статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический. Молекулярно-кинетический метод исследования лежит в основе молекулярной физики, термодинамический - в основе термодинамики.
Закон Кулона электростатическая индукция