Метод непосредственного интегрирования Аналитическая геометрия на плоскости Элементы  линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве Основы дифференцирования Интегрирование по частям Двойной интеграл.

Введение в математический анализ. Вычисление интеграла

Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Метод интегральной суммы. Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.

Линейное пространство

Определение и простейшие свойства

Пусть даны поле  с элементами, называемыми скалярами и обозначаемыми малыми греческими буквами , , , … и множество элементов, называемых векторами и обозначаемых латинскими буквами  . Введем на   алгебраическую операцию сложения, которая каждой паре элементов  ставит в соответствие третий элемент , называемый суммой  и  и обозначаемый , а также операцию умножения скаляра на вектора, которая и  ставится в соответствие , называемый произведением вектора  на скаляр  и обозначаемый

Определение 1. Множество  вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над полем , если удовлетворяются следующие аксиомы:

1) является абелевой группой;

2) Для любых  и выполняются равенства:

а) Умножение  на  не изменяет , т.е. .

б)     .

в) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров, т.е.     .

г) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е.     .

Обозначение. .

Замечание. Так как  ­­− абелева группа, то существует единственный нейтральный (нулевой) элемент, обозначаемый , для каждого вектора  существует единственный симметричный (противоположенный) элемент, обозначаемый , и для  уравнение имеет единственное решение , называемое разностью  и .

Свойства линейного пространства.

1)   выполняется .

2)   выполняется .

3)   выполняется .

4)   выполняется .

5) .

6) .

7) .

Доказательство.

Так как    в силу г)  имеем   . Аналогично,  имеем     .

В силу г) имеем   в силу разности векторов .

Следует из 2) при .

Доказывается аналогично.

Если   и , то умножая это равенство на  получаем:   и   . Т.о., если , то   . Обратное утверждение следует из 1).

Из .

Аналогично. ■

Примеры.

Если   − поле и , то  имеем    − векторное пространство, называемое нулевым.

  − векторное пространство комплексных чисел над полем вещественных чисел.  − векторное пространство вещественных чисел над полем рациональных чисел.

Множество  матриц размера  образует векторное пространство .

Множество многочленов степени не выше n образует векторное пространство .

Множество  непрерывных на  функций образует векторное пространство .

  – n-мерное координатное пространство (или арифметическое пространство), элементами которого являются упорядоченные наборы из n чисел: . Операции определены следующим образом:

;

.

Задача. Проверить выполнение аксиом векторного пространства.

2о. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Это понятие является обобщением понятия линейной зависимости строк.

Определение 2. Линейной комбинацией векторов  с коэффициентами  называется выражение вида: .

Определение 3. Вектора  называются линейно независимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинация  с этими  является нулевым вектором V, т.е. . Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами,  называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что

Теорема 1.

1) Для того, чтобы элементы  были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.

2) Если среди  один элемент нулевой, то они линейно зависимы.

3) Если часть элементов множества  линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.

Доказательство. 1о Аналогично доказательству из §8.

2о Если    и  – любое, например,    линейно зависимы.

3о Если  – линейно зависимы, то  одновременно неравные нулю, так что    и хотя бы одно из  отлично от нуля   линейно зависимы. ч.т.д.

Пример. Рассмотрим линейное пространства  и докажем, что n элементов из  вида , ,…,  линейно независимы, а добавление еще одного элемента  приводит к линейно зависимой системе. Действительно, рассмотрим линейную комбинацию  с . Имеем . Вектор справа равен нулю, если все , т.е.  – линейно независимы.

Добавим . Тогда по теореме 1, п. 1о, достаточно показать, что x – линейная комбинация . Действительно,

3о. Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.

Def 5. Совокупность векторов  называют базисом в , если

1о. вектора  – линейно независимы;

2о. для  найдутся  . (1)

При этом равенство (1) называется разложением элемента  по базису , а  называются координатами  относительно базиса .

Теорема 2 (о единственности разложения по базису). Любой элемент  может быть единственным образом разложен по базису , т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство. Пусть  и . Тогда . В силу линейной независимости   . ч.т.д.

Теорема 3 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов  и  их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются; при умножении  на , все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство. Пусть  - базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису  что теорема доказана.

Примеры. 1о. Базис в  - любое ненулевое число.

2о. . Базис образуют матрицы , , …,  с одним единичным элементом.

3о.   – множество многочленов степени не выше n. Базис: , , …, .

4о.   – см. выше.

4о. Размерность линейного пространства.

Def 6. Линейное пространство  называется n-мерным, если

1о. В нем  n линейно независимых векторов.

2о.   векторов линейно зависимы.

Тогда n называется размерностью  и обозначается .

Def 7. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем  любое число линейно независимых векторов.

Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства.

Теорема 4. Если  – линейное пространство размерности n, то  линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.

Доказательство. Пусть  – система n линейно независимых векторов из . Если  - любой вектор из , то по Def 6, вектора  – линейно зависимы, т.е.

и среди  есть хотя бы одно отличное от нуля. Очевидно, что   (т. к. иначе  – линейно зависимы)

, т.е.

 – линейная комбинация   т. к.  – произвольный, то  –базис.

Теорема  5. Если  имеет базис, состоящий из n элементов, то .

Доказательство. Пусть  – базис в . Достаточно показать, что  векторов  линейно зависимы. Разложим их по базису:

,

,

где .

Очевидно, что линейная зависимость векторов  эквивалентна линейной зависимости строк матрицы

.

Но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т. к. порядок базисного минора не превосходит n и хотя бы одна из  строк не является базисной, и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных строк (а стало быть и остальных).

Примеры. 1о. . 2о. . 3о. . 4о. . 5о. .

5о. Изоморфизм линейных пространств.

Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга.

Def 6. Два произвольных линейных пространства V и  над одним и тем же полем   называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам  отвечают соответственные вектора , то вектору  отвечает вектор , а вектору  при  отвечает вектор .

Свойства изоморфных пространств.

10. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент  и наоборот.

Док-во: Если .

20. Если элементам  соответствуют , то линейная комбинация векторов  равна нулю V, т.е.  линейная комбинация  с теми же коэффициентами  равна нулю, т.е. .

Док-во следует из 10.

30. Если V и  изоморфны, то максимальное число линейно независимых векторов в каждом из пространств одно и тоже, т.е. два изоморфных пространства имеют одну и туже размерность.

40. Пространства разных размерностей не могут быть изоморфными.

Теорема 6. Любые два n-мерных линейных пространства V и  над одним и тем же полем  изоморфны.

Док-во. Выберем в V базис ­­­− базис  Каждому элементу , поставим в соответствие элемент  с теми же координатами  в базисе .

Однако это соответствие взаимнооднозначно, т.к. имеет единственным образом определенные координаты , которые в свою очередь, определяют единственный элемент .

В силу равноправности V и ,  соответствует единственный . Легко видеть, что если  в силу введенного соответствия.

Т.о.,  все линейные пространства данной размерности n-ная полем   изоморфны, т.е. их свойства, связанные с линейными операциями неразличимы.

§10. Подпространства линейных пространств.

1о. Определение подпространства и линейной оболочки.

Def 1. Непустое подмножество  векторного пространства  над полем  называется линейным подпространством (или просто подпространством) линейного пространства ,если выполняются следующие свойства:

1о. , их сумма .

2о. , , имеем: .

Лемма 1. Подпространство  векторного пространства  само является векторным пространством.

Доказательство. Покажем, что  – абелева группа относительно сложения. Так как ассоциативность и коммутативность выполняются для любых элементов , то эти свойства выполняются и для . Осталось проверить, что   и , его противоположный элемент . Действительно, так как      при     . Так , и  – элемент, противоположный , принадлежит    и    и является противоположным к . Остальные свойства справедливы, так как они справедливы для любых элементов .

Примеры: 1)  и  подпространства линейного пространства . они называются несобственными подпространствами.

2)  – подпространство в пространстве .

Рассмотрим множество  векторов пространства  .

Def 2. Линейной оболочкой множества  (линейной оболочкой ) будем называть совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т.е. множество элементов вида

,

где  – произвольные элементы .

Обозначение.  – линейная оболочка . Множество  называется множеством или системой образующих для .

Лемма 2. Любая линейная оболочка является подпространством основного линейного пространства , причем линейная оболочка является наименьшим подпространством, содержащим .

Доказательство. То, что  – подпространство, следует из того, что для  выполняются аксиомы 1о, 2о Def 1. Так как это подпространство содержит  и, с другой стороны, любое другое подпространство, содержащее , будет содержать их линейные оболочки и значит содержит , т.е.  – подмножество такого множества.

Пример. Если рассмотреть , и , , , …, , то .

Лемма 3. 1о. Если  – подпространство в   .

2о. Если подпространство  не совпадает со всем векторным пространством  размерности , то .

Доказательство. Методом от противного.

1о. Если    независимых векторов в   они линейно независимы в , т.е. противоречие.

2о. Пусть   по теореме 4  любые  векторов образуют базис в . Но так как любые  векторов образуют базис в   они совпадают .

Замечание. Если  – базис в , то любое подмножество  является базисом некоторого подпространства  базис не может быть получен простым выбором подмножества из множества . Например, . Вместе с тем, справедлива теорема.

Теорема 1. Если элементы  составляют базис k-мерного подпространства  пространства  , то этот базис может быть дополнен элементами  так, что совокупность ,  – базис .

Доказательство. Пусть . Тогда существует вектор   – линейно независимы, так как в противном случае . Продолжая далее указанную процедуру, получим , .

Теорема 2 (о размерности линейной оболочки векторов). Размерность линейной оболочки  равна максимальному числу линейно независимых векторов в множестве . В частности, если  – линейно независимы, то   и эти элементы образуют базис в .

Доказательство. Пусть среди элементов  есть  линейно независимых элементов  и любые  элементов линейно зависимы. Добавим к  произвольный элемент . Тогда  – линейно зависимы, т.е.

  и

среди , , …,  хотя бы один не нуль. Очевидно, что  (так как иначе  – линейно зависимы)  , т.е. любой другой элемент  может быть представлен как линейная комбинация . Но все элементы   имеют вид   подставляя здесь вместо  их представление как линейной комбинации . Это означает, что  – базис и что .

2о. Ранг матрицы как максимальное число линейно независимых строк (столбцов).

Напомним, что если , то  – это число , такое, что существует минор порядка , отличный от нуля и все миноры порядка  равны 0.

Теорема 3. Ранг произвольной матрицы  равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы.

Доказательство. Докажем для строк. Пусть

, где .

Каждую строку в  можно рассматривать как элемент пространства  (т.е. упорядоченную совокупность   элементов, аналог ). Тогда линейная оболочка  строк порождает подпространство . Пусть в матрице   базисных строк. Тогда по теореме о базисном миноре (см. §9) имеем, что любая строка матрицы  является линейной комбинацией этих  строк, т.е. элементом подпространства , а из теоремы 8   . Таким образом,  строк матрицы  линейно зависимы, т.е.  – максимальное число линейно независимых строк.

Следствие. Число линейно независимых строк равно числу линейно независимых столбцов матрицы .

3о. Элементарные преобразования матрицы.

Вычислять ранг матрицы перебором всех миноров – большая работа. Несколько облегчает положение метод окаймляющих миноров, согласно которому миноры   порядка ищутся как окаймляющие ненулевой минор -ого порядка.

Проще всего находить ранг матрицы и ее базисный минор при помощи элементарных преобразований.

Def 3. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1о. Умножение строки на элемент , отличный от нуля.

2о. Прибавление к одной строке другой строки.

3о. Перестановка строк.

4о. Такие же преобразования над столбцами.

Теорема 4. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство. Пусть  – исходная матрица,  – преобразованная, , т.е.  и все , ,…

1о. Если , то если умноженная строка входит в , то , если нет, то . Для  имеем .

2о. Пусть  получается из  прибавлением к -ой строке -ой. Покажем, что при этом ранг не увеличивается, т.е. если   .

а) Если  содержит и -ую и -ую строки – очевидно, что .

б) Если -ая строка не входит в , то .

в) Если -ая входит в , а -ая – не входит, то , где  – другой минор матрицы  . Знак “-” может возникнуть из-за того, что  могут быть переставлены строки. Например,

.

Т.о. , т.е. прибавление строк – обратимая операция, то  получается из  такой же операцией, т.е.   .

3о. Очевидно, что при перестановке двух строк не меняется максимальное число линейно независимых строк.

4о. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях столбцов доказывается аналогично.

Def 4. Матрицы  и , получаемые друг из друга элементарными преобразованиями, называются эквивалентными.

Т.о., эквивалентные матрицы имеют одинаковый ранг.

Def 5. Матрица, у которой в каждой следующей строке, начиная со второй, первый отличный от нуля элемент стоит правее первого отличного от нуля элемента предыдущей строки, а все нулевые строки (т.е. строки, содержащих хотя бы один ненулевой элемент), называется ступенчатой.

Пример

  – ступенчатая матрица.

Теорема 5. (О ступенчатой матрице)

Каждая матрица элементарными преобразованиями строк приводится к ступенчатой.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк.

Доказательство. 1) Если некоторый элемент  данной матрицы отличен от нуля, то с помощью элементарных преобразований строк можно получить новую матрицу, в которой все элементы, стоящие над  и под ним равны нулю. Например, чтобы получить нуль на месте  , достаточно умножить -ую строку на  и прибавить к -ой строке. На месте -ого элемента будет стоять .

Возьмем первый слева ненулевой столбец и переставим строки так, чтобы в первой строке оказался этот ненулевой элемент (если первый элемент этого столбца был ненулевым, то переставлять строки не надо). Элементарными преобразованиями все элементы столбца можно сделать нулями. Первая строка ступенчатой матрицы готова: все ненулевые элементы второй и нижних строк стоят правее первого ненулевого элемента первой строки.

Применим ту же процедуру к матрице, начиная со второй строки: возьмем первый слева столбец, содержащий ненулевые элементы, переставим так, чтобы во второй строке был ненулевой элемент и т.д. После этого будет готова и вторая строка.

Так как строк конечное число, то процесс конечен.

2) Пусть в ступенчатой матрице  ненулевых строк. Тогда любой минор  и выше порядков равен 0, т.е. содержит нулевые строки. Ненулевой минор -ого порядка строится так: берутся столбцы, содержащие первые ненулевые элементы  ненулевых строк. Его определитель равен произведению этих ненулевых элементов (верхнетреугольная матрица). Т.о., .

Пример. В выше рассмотренном примере . Т.о., ранг любой матрицы вычисляется приведением ее к ступенчатому виду.

4о. Сумма и пересечение подпространств

5о. Прямая сумма подпространств

6о. Преобразование координат вектора при изменении базиса векторного пространства.

 Пусть в -мерном векторном пространстве  даны два базиса  и . Каждый из векторов  разложим по базису :

,

(3)

или, кратко,

.

(3’)

Координаты  разложения векторов «нового» базиса  по старому  запишем в виде матрицы

 ,

столбцами которой являются координаты векторов  в базисе . Поэтому столбцы матрицы  линейно независимы и значит .

Определение. Матрица, -ый столбец которой состоит из координат вектора   в базисе , называется матрицей перехода от базиса  к базису .

Если ввести в рассмотрение матрицы-строки  и , то формулы (3) можно переписать в виде

.

Так как , то   , т.е.  − матрица перехода от  к .

Теорема. Пусть в  задан базис . Тогда любая матрица : , является матрицей перехода от  к некоторому другому базису .

Доказательство. Так как , то столбцы  линейно независимы  они служат координатами линейно независимых векторов, которые можно выбрать в качестве нового базиса в . ■

 Теперь рассмотрим, как связаны координаты вектора в различных базисах. Пусть вектор  имеет координаты  и  в базисах и  соответственно, т.е.

  и .

В силу   , откуда в силу единственности разложения по базису имеем  .

Пример. Пусть рассматриваются вектора на плоскости и пусть . Пусть новый базис получается из старого поворотом на угол  против часовой стрелки. Тогда ,  и матрица перехода имеет вид:

.

Поэтому

.

ПРАКТИКУМ по теме «Тройной интеграл» Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.
Решение задач на вычисление интегралов