Метод непосредственного интегрирования Аналитическая геометрия на плоскости Элементы  линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве Основы дифференцирования Интегрирование по частям Двойной интеграл.

Введение в математический анализ. Вычисление интеграла

Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Метод интегральной суммы. Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.

Алгебраические операции.

Основные типы алгебраических структур

1°. Алгебраические операции.

Алгебра − наука об алгебраических операциях.

Пусть X − произвольное множество.

Определение 1. n-арной алгебраической операцией на X называется отображение . Т.е. n-компонентному элементу   однозначно ставится в соответствие элемент .

Задача. Пусть . Сколько  n-арных алгебраических операций на ? Ответ. Таких операций

Алгебраические операции при n=1 называются унарными, при n=2 – бинарными, n=3 – тернарными. Далее, как правило, будут рассматриваться бинарные операции.

Если , то пишут или . Операции на X обозначают символами . Последний символ используется для операции сложения, остальные − для операции умножения.

Определение 2. Множество X с конкретной алгебраической операцией называется алгебраической структурой.

На одном и том же множестве X могут быть заданы различные алгебраические структуры.

Примеры (алгебраических операций и алгебраических структур).

1.  так, что  имеем

2.   3.

4. Деление не является алгебраической операцией на R, так как не определено деление на нуль. Однако оно является алгебраической операцией на .

5-8. То же самое для С.

9.

10. Скалярное произведение не является алгебраической операцией на множестве векторов, т.к. .

11.   - множество всех отображений  относительно операции композиции  является алгебраической структурой.

12. Как правило, алгебраическая операция на конечном множестве может быть задана с помощью таблицы Кэли, которая описывает результат операции на любой паре элементов множества. Рассмотрим множество, состоящее из 3-х элементов: {Доска, Окно, Тряпка} (кратко {Д, О, Т}). Введем следующую операцию, обозначаемую   (символ операции). Соответствующую таблицу Кэли можно выбрать в виде

 2

1

Д

О

Т

Д

Д

О

Д

О

О

Д

Т

Т

Т

Т

Д

 

 

13. Примерами тернарных операций на  являются:

 .

.

  .

Обычно полезно изучать операции со специальными свойствами.

Определение 3. Бинарная операция на X называется коммутативной, если ; ассоциативной, если  выполняется .

Задача. Пусть . Сколько  коммутативных бинарных операций на X? Ответ. Таких операций  .

Примеры.

. Операция сложения коммутативна и ассоциативна.

. Операция вычитания не коммутативна и не ассоциативна. Например, , .

, где  . Такая операция  коммутативна, но не ассоциативна. Действительно: .

Умножение матриц: ассоциативная, но не коммутативная операция.

Теорема 1 (обобщённая ассоциативность). Если  операция ассоциативна, то в выражении скобки можно расставлять в любых местах.

Доказательство. Проводится методом математической индукции. Для   утверждение повторяет определение ассоциативности. Пусть . Рассмотрим выражения

и .

Пусть − обычная ассоциативность. ■

Определение 4. Элемент называется нейтральным относительно алгебраической операции , если

.

(1)

Теорема 2. Нейтральный элемент единственен.

Доказательство.  (от противного). Пусть  и ­− два нейтральных элемента

  (по условию нейтральности ) и

  (по условию нейтральности )

.■

Определение 5. Множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом или полугруппой с единицей.

Определение 6. Элемент моноида называется симметричным к элементу , если

(2)

Теорема 3. Если в моноиде для есть симметричный элемент, то такой элемент единственен.

Доказательство. Пусть для данного  два симметричных элемента  и  Тогда в силу (1) и (2) имеем: 

 .■

Обычно умножение называют мультипликативной операцией, сложение – аддитивной. В случае мультипликативной операции результат операции называют произведением, нейтральный элемент – единицей (обозначают 1), симметричный элемент к  – обратным (пишут ). В случае аддитивной операции результат операции  называют суммой (x+y), нейтральный – нулём (обозначают 0), симметричный – противоположным (обозначают ).

Теорема 4. Если в моноиде для элементов  и  есть симметричные элементы  и  соответственно, то для элемента также существует симметричный элемент, равный

Доказательство. Для доказательства теоремы необходимо проверить условия (2):   Проверим первое из этих равенств. Имеем:

  Аналогично проверяется второе условие из (2).■ 

2°.Группа, свойства группы.

Определение 7. Непустое множество G с заданной алгебраической операцией  называется группой, если

1)  – ассоциативная операция.

2) В G  нейтральный элемент .

3)  симметричный элемент из

Если   – коммутативная операция, то группа называется коммутативной или абелевой.

Операция, относительно которой G − группа, называется групповой операцией. Если групповая операция  − умножение, то группа называется мультипликативной, если  – сложение, то G – аддитивная группа.

Примеры.

(N,+) ­ – коммутативная полугруппа без нейтрального элемента.

(N,) ­ – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом.

  – аддитивная абелева группа.

  – аддитивная абелева группа.

  – аддитивная абелева группа.

  – абелева полугруппа с нейтральным элементом.

– мультипликативная абелева группа.

– абелева группа: .

Множество векторов на плоскости или в пространстве относительно операции сложения.

Свойства группы.

1°. В группе G  нейтральный элемент и   симметричный элемент.

Доказательство следует из теорем 1 и 2.

2°. Для  уравнения   имеют единственное решение:

, .

Доказательство. Покажем, что  – решение уравнения . Имеем: , т.е.  − решение.

Если z – другое решение, то   после умножения слева на      x – единственное решение. Аналогично для другого уравнения.

3°. Закон сокращения в группе. Если .

Доказательство следует из свойства 2°.

Важный пример (группа перестановок степени ).

 Пусть  ­­− произвольное множество из элементов; например,

Определение 8. Перестановкой степени называется взаимнооднозначное отображение множества  в .

  Множество всех перестановок степени обозначается . Каждую перестановку будем в дальнейшем обозначать строчной буквой греческого алфавита:  Перестановка изображается двурядным символом:

.

Такой символ обозначает отображение

Лемма 1. Число различных перестановок степени  равно  

Доказательство. В качестве первого элемента  можно выбрать любой из элементов, в качестве второго − любой из оставшихся  элементов, и т.д. Всего различных возможностей выбора  Таким образом,

На множестве перестановок вводится операция умножения по формуле

 Например, если

  то

Лемма 2. Множество  образует группу, не являющуюся коммутативной.

Доказательство. Вначале проверим ассоциативность умножения. Пусть   и  Тогда по определению легко проверить выполнение равенства  Тождественная перестановка является нейтральным элементом в рассматриваемом множестве, симметричный элемент получается перестановкой строк. Некоммутативность легко проверяется на предыдущем примере.■

Замечание. Если  и  − коммутативная операция, то таблица Кэли симметрична относительно диагонали.

3°.Кольцо, свойства кольца.

В алгебре изучаются множества и с несколькими, например, с двумя, алгебраическими операциями.

Определение 9. Непустое множество  называется кольцом и обозначается , если выполняются условия:

1) (K;+) – абелева группа.

2) умножение ассоциативно, т.е.

3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

, .

Кольцо называется коммутативным (понятия абелева кольца нет!!!), если умножение коммутативно. Если относительно умножения существует нейтральный элемент, то кольцо называется кольцом с единицей.

Примеры колец.

 образуют коммутативное кольцо с единицей относительно обычных операций сложения и умножения.

Множество {0}, содержащее лишь одно число 0, образует кольцо, называемое нулевым кольцом.

Множество непрерывных на отрезке  функций с операциями + и , определенными следующим образом:

, ,

образует коммутативное кольцо с единицей.

Множество V3 всех векторов пространства относительно операций сложения векторов и векторного произведения векторов, образует кольцо.

Рассмотрим пространство битовых строк (последовательностей длины , состоящих из нулей и единиц), относительно операций  (исключающее «или») и  (логическое умножение), которые задаются таблицами:

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

 0

0

1

1

1

0

Например, (1010) (0110)=(1100); (1010) (0110)=(0010).

Операции  и − алгебраические, нейтральный элемент – нулевая битовая строка (0…0). Для каждой битовой строки противоположным элементом является эта же битовая строка. Доказательство коммутативности, ассоциативности операций   и  и дистрибутивность логического умножения относительно операции  сводятся к доказательству этих свойств для битовых строк длиной 1, которое проводится прямыми вычислениями. Т.о., пространство битовых строк с операциями , является кольцом, которое обозначается . Это кольцо является ассоциативным кольцом с единицей.

Так как (;+) абелева группа, то   противоположный элемент . Поэтому в К можно ввести операцию вычитания: .В силу свойства группы   единственное решение уравнения .

Свойства кольца.

1) Умножение дистрибутивно относительно вычитания, т.е.

.

Доказательство.

.

2) .

 Доказательство. Т.к. . Аналогично доказывается, что .

 Утверждение, обратное свойству 2), неверно. А именно, существуют кольца, в которых произведение двух ненулевых элементов равно нулю, т.е  но . Такие кольца называются кольцами с делителями нуля. Например, множество  непрерывных функций – кольцо с делителями нуля. Действительно, если  

 Аналогично,  − множество матриц размера  − кольцо с делителями нуля.

3) Если − отличный от нуля элемент из , не являющийся делителем нуля, и

  (закон сокращения в кольце). Аналогично,

 Доказательство.

4)

 Доказательство.

4°.Поле, свойства поля.

Пусть P – множество, содержащие не менее двух элементов.

Определение 10. Множество  с заданными на нём алгебраическими операциями сложения + и умножения  называется полем и обозначается (), если:

1) (P;+) – абелева группа.

2) (P\{0};) – абелева группа.

3) Умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е.

Т.о., поле – это коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей, в котором все ненулевые элементы составляют мультипликативную группу.

Примеры полей.

  − примеры полей.

(,,) − поле.

Свойства поля.

1) В поле Р нет делителей нуля.

 Доказательство. Пусть  Умножим  на : . С другой стороны,

2) Свойство сокращения на ненулевой элемент:  из  

3) , уравнение  в поле P имеет единственное решение

Доказательство. При  доказываемое свойство – это свойство группы, при   − свойство кольца.

 Решение уравнения  обозначается  и называется частным от деления  на . Т.о., в поле определено деление на ненулевой элемент.

  Вывод. В произвольном поле можно проводить все операции, как в обычной арифметике: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевой элемент, раскрытие скобок, приведение подобных, … .

Итак, алгебраические структуры – это множества с алгебраическими операциями. Дальнейшее обобщение – алгебраические системы, являющиеся совокупностью множества, алгебраических операций и отношений. Это стык алгебры и математической логики.

5°.Подполугруппа, подгруппа.

 Пусть  − бинарная алгебраическая операция на .

Определение 11. Подмножество  называется замкнутым относительно , если  выполняется

 Если подмножество  множества  замкнуто относительно , то на  определена операция: каждой паре  ставится в соответствие

Определение 12. Такая операция на  называется операцией, индуцированной операцией .

Лемма 3. Пусть  − полугруппа и  замкнуто относительно  Тогда  является полугруппой относительно индуцированной операции.

  Доказательство. Для доказательства леммы достаточно показать, что операция  ассоциативна на множестве  Это очевидно, так как все элементы  являются элементами , а на  введенная операция ассоциативна.■

Определение 13. Пусть  − полугруппа. Подмножество , замкнутое относительно , называется подполугруппой.

Пример.  − полугруппа (и даже группа), а  − подполугруппа (но не группа).

Определение 14. Пусть пара () – группа.  называется подгруппой, если X замкнуто относительно   и X − группа относительно индуцированной операции.

Определение 15. Пусть тройка (P,+,) − кольцо (поле). Подмножество называется подкольцом (подполем), если Y замкнуто относительно  и  и Y является кольцом (полем).

Пример.  − подполе в поле

Теорема 5. Пусть () – группа.  является подгруппой в   

1) X замкнуто относительно ; 2) , где  − нейтральный элемент в ;

3) существует .

Доказательство. Достаточность − очевидна.

Необходимость. Пусть  − подгруппа в . Тогда условие 1) выполнено по определению подгруппы.

Проверим условие 2). Так как  − подгруппа, то  − нейтральный элемент в . Докажем, что , т.е. совпадает с нейтральным элементом в .  Действительно, умножим равенство   на  (симметричный элемент к  в смысле , т.е. ). С одной стороны имеем: , с другой − . Отсюда следует, что .

Осталось проверить 3). Пусть . Тогда , являющийся симметричным  в , т.е. . Это и означает выполнение условия 3).■

Аналогичные теоремы доказываются для подколец и подполей.

Теорема 6. Если в группе взяты две подгруппы и , то их пересечение , т.е. совокупность элементов, лежащих одновременно в обоих множествах, также будет подгруппой группы .

Доказательство. Действительно, если в пересечении  содержатся элементы и , то они лежат в подгруппе , а потому в  лежат и произведение , и симметричный элемент . По тем же соображениям элементы  и  принадлежат подгруппе , а потому они входят и в .■

 Интересный пример подгруппы − циклические подгруппы. Вначале введем некоторые понятия. Если  − элемент группы , то n-ой степенью элемента  называется произведение n элементов, равных . Отрицательные степени элемента  вводятся как произведения сомножителей, равных . Легко видеть, что . Для доказательства достаточно взять произведение   сомножителей, из которых первые   равны , а остальные − , и произвести все сокращения. Под нулевой степенью элемента будем понимать нейтральный элемент. В силу обобщенной ассоциативности легко показать, что  имеют место равенства:

(3)

Обозначим подмножество группы , состоящее из всех степеней элемента .

Лемма 4. Множество  является подгруппой группы .

 Доказательство очевидно.

Определение 16. Подгруппа  называется циклической подгруппой группы .

 Легко видеть, что циклическая подгруппа всегда коммутативна, даже если сама группа некоммутативна. Если все степени элемента  являются различными элементами, то  называется элементом бесконечного порядка . Если существуют  и  из , такие, что , то  называется элементом конечного порядка. Легко видеть, что в этом случае . Наименьшее  такое, что  называется порядком элемента .

Определение 17. Группа называется циклической группой, если она состоит из степеней одного из своих элементов , т.е. совпадает с одной из своих циклических подгрупп . Элемент в этом случае называется образующим элементом группы .

Примеры.

1)   − циклическая группа с образующим элементом 1.

2) Группа корней n-ой степени из 1 − циклическая мультипликативная группа с образующим элементом, получаемом при .

6°.Гомоморфизм и изоморфизм групп

Определение 18. Пусть и − множества, и  − бинарные операции (на и  соответственно). Гомоморфизмом из  в  называется отображение  такое, что

Пример. Отображение  является гомоморфизмом из  в  Это следует из справедливости равенства

Замечания. 

1. Аналогично определяется понятие гомоморфизма, если на множествах и  определены несколько операций.

2. Так как полугруппа, группа, кольцо и т.д. множества с операциями, то ясно, что такое гомоморфизм полугрупп, групп и т.д.

Определение 19. Изоморфизм − это биективный гомоморфизм.

Определение 20. Пара  изоморфна паре , если  изоморфизм из  в .

Обозначение.  означает, что  изоморфно . Иногда пишут .

Примеры.

Отображение  является изоморфизмом из  в Действительно, это отображение является гомоморфизмом (см. предыдущий пример) и биективным отображением (в силу свойств экспоненциальной функции).

В начале §1 комплексные числа определялись как пары действительных чисел. Множество пар вида  отождествлялись с множеством действительных чисел . Это возможно в силу изоморфизма этих двух множеств.

Отображение  такое, что  является изоморфизмом.

Отображение  такое, что  является изоморфизмом аддитивной группы и не является гомоморфизмом мультипликативной группы. Действительно, , но .

Теорема 7. Пусть  − изоморфизм. Тогда

если   − коммутативна, то  − также коммутативна;

аналогично для ассоциативности;

если   − нейтральный элемент в   относительно , то  − нейтральный элемент в  относительно ;

если   и  − взаимно обратные элементы из , то   и  − взаимно обратные из .

Доказательство.

Пусть  и . Докажем, что . Так как  и , то последнее равенство можно переписать в равносильном виде , откуда следует . Справедливость последнего равенства следует из коммутативности операции .

Доказывается аналогично 1). Пусть . Тогда : , , . Далее по аналогии.

Пусть . Докажем, что . Пусть . Тогда . Аналогично доказывается .

Дано: , где  − нейтральный элемент в . Действуя на все элементы этого равенства функцией , получаем требуемое равенство.■

Следствие. Из доказанной теоремы следует, что если  и  − группа, то  − также группа. Аналогично для колец и полей.

Теорема 8. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Изоморфны между собой также и все конечные циклические группы данного порядка .

Доказательство. Действительно, любая бесконечная циклическая группа с образующим элементом  отображается взаимно однозначно на аддитивную группу , если каждому элементу  этой группы ставится в соответствие число . Это отображение является изоморфизмом, так как согласно (3) при перемножении степеней элемента  показатели складываются. Если рассматривается конечная циклическая группа порядка  с образующим элементом , то, рассматривая мультипликативную группу корней ­−ой степени из единицы и обозначая , изоморфизм строится сопоставлением элементу  группы  числа . Изоморфность такого отображения следует из следствия к теореме из § 1.■ 

Многочлены

Поле рациональных дробей Эвристические соображения. В анализе изучаются дробно-рациональные функции вида , где  − многочлены. Мы их будем рассматривать как формальные выражения.

Транспонирование матриц. Определитель транспонированной матрицы.

Линейное пространство Определение и простейшие свойства Пусть даны поле  с элементами, называемыми скалярами и обозначаемыми малыми греческими буквами , , , … и множество элементов, называемых векторами и обозначаемых латинскими буквами  .

ПРАКТИКУМ по теме «Тройной интеграл» Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.
Где можно заполнить налоговую декларацию 3 ндфл подробности на сайте.
Решение задач на вычисление интегралов