Метод непосредственного интегрирования Аналитическая геометрия на плоскости Элементы  линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве Основы дифференцирования Интегрирование по частям Двойной интеграл.

Введение в математический анализ. Вычисление интеграла

Метод Гаусса Рассмотренные ранее простейшие квадратурные формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона, как правило, применяются для интегрирования функций невысокой степени гладкости. Причем для простейших составных квадратурных формул обнаружен следующий недостаток: при увеличении числа узлов, в которых вычисляется значение интегрируемой функции , для функций высокой степени гладкости (, ) не повышается точность с ростом . Такой недостаток квадратурной формулы называется явлением насыщения численного метода и проявляется не только при решении задач численного интегрирования.

Интегрирование по частям определенного интеграла

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а,в], то

Геометрическое приложение определенного интеграла

Площади плоских фигур

Если функция f(x) неотрицательна на отрезке [а,в], то площадь S под кривой y=f(x) на [а,в] (площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) и прямыми x=a, x=b, y=0) численно равна определенному интегралу от f(x) на данном отрезке:

  (3) (геометрический смысл определенного интеграла).

Если функция y=f(x) неположительна на отрезке [а,в], то площадь S над кривой y=f(x) на [а,в] равна определенному интегралу от f(x) на [а,в], взятому со знаком «минус»:

  (4)

Формулы (3) и (4) можно объединить в одну

Если  на отрезке [а,в], то площадь S фигуры, заключенной между кривыми y=f2(x) и y=f1(x) на этом отрезке, определяется формулой

Объемы тел вращения

Если функция y=y(x) знакопостоянна на отрезке [а,в], то объем Vx тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y=y(x), x=a, x=b, y=0, вычисляется по формуле

Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть функция y=f(x) задана на отрезке [а,в] и этот отрезок разбит на n равных частей точками а=х0<х1<<хn=в,

xi=xi-1+ih,

где h= , i=1,2,…,n.

Тогда приближенное значение определенного интеграла от функции y=f(x) на [а,в] может быть найдена по формуле трапеций:

Погрешность Dот применения формулы трапеций оценивается по формуле:

 где М2-максимальное значение модуля второй производной функции y=f(x) на отрезке [а,в], т.е.

ТЕМА 12. Несобственные интегралы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (I рода)

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются следующим образом:

   (1)

  где с-произвольное число (обычно с=0).

Несобственные интегралы I рода называются сходящимися, если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях равенств (1). Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы называются расходящимися.

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов I-го рода

Если на промежутке [а;+¥) непрерывные функции f(x) и j(x) удовлетворяют условию 0 £ f(x) £ j(x), то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла   («признак сравнения»).

Если при х Î [а; +¥),  f(x) >0, j(x) > 0 и существует конечный предел  то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).

Если сходится интеграл  то сходится и интеграл  который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Несобственные интегралы от неограниченных функций (II рода)

Пусть функция y = f(x) - непрерывна, но не ограничена на полуинтервале [а,в). В этом случае интеграл  называется несобственным интегралом второго рода и, по определению,

Если предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует и конечен, то этот интеграл называется сходящимся; в противном случае - расходящимся.

Аналогично, если функция y=f(x) непрерывная, но неограниченная на полуинтервале (а;в], то , по определению,

Если функция y=f(x) терпит разрыв II-го рода во внутренней точке сÎ[а;в], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

В этом случае интеграл называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов II-го рода:

1. Если на промежутке [а;в) функции f(x) и j(x) непрерывны, при х=в терпят разрыв II-го рода и удовлетворяют условию 0 £ f(x) £ j(x), то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла   («признак сравнения»).

2. Пусть функции f(x) и j(x) непрерывны на промежутке [а;в) и в точке х=в терпят разрыв II-го рода. Если существует предел  0 < к <¥,то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если функция f(x), знакопеременная на отрезке [а;в], имеет разрыв в точке х=в и несобственный интеграл  сходится, то сходится и интеграл  

Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z=x+iy, где х и у- действительные числа, i-мнимая единица (). Число x=Re(z) называется действительной частью числа z, а число y=Im(z) - мнимой частью числа z.

Дифференциальные уравнения Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию некоторой переменной, эту переменную и производные различных порядков данной функции: G(x, y, y¢,…, 

Понятие числового ряда Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения:

Алгебра и аналитическая геометрия

Криволинейный интеграл 2 рода. Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является проекция длины кривой на ось Оx или Оу или Oz .
Решение задач на вычисление интегралов