Метод непосредственного интегрирования Аналитическая геометрия на плоскости Элементы  линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве Основы дифференцирования Интегрирование по частям Двойной интеграл.

Введение в математический анализ. Вычисление интеграла

Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к определенному интегралу. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

Справочный материал по темам «Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве»

Матрицы

Матрицей размерности m ´ n называется прямоугольная таблица, состоящая из m·n элементов (m строк и n столбцов):

Am´n  =, где aij – элементы матрицы,

i = 1,2,…, m – номер строки, j = 1,2,…, n – номер столбца.

Для краткости матрицу обозначают одной буквой, например, буквой А.

Некоторые виды матриц:

нулевая матрица: матрица, все элементы которой равны нулю;

при  n = 1 матрица-столбец: X = ;

при m = 1 матрица-строка: Y = ;

при m = n квадратная матрица: An´n = .

 У квадратной матрицы различают главную диагональ (соединяющую элементы a11 и ann ) и побочную диагональ.

 Примеры квадратных матриц:

единичная матрица (квадратная матрица, на главной диагонали которой

 стоят единицы, а остальные элементы – нули): 

E =;

2) квадратная матрица второго порядка: ;

3) квадратная матрица третьего порядка: .

 

 Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размерности и их соответствующие элементы равны:

Am´n  = Bm´Û aij = bij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).

Линейные операции над матрицами

  Умножение матрицы A на число k: 

B = k×A=,

или, в краткой записи:

B = k×Û bij = k×aij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n). (21)

 Сложение (вычитание) матриц A и B одинаковой размерности:

 Cm´n = Am´±  Bm´Û cij­ = aij ± bij  (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n). (22)

 Произведение матриц Am´n и Bn´k:

Cm´k = Am´n × Bn´k

 cij = ai1b1j + ai2b2j + ¼ + ainbnj (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, k). (23)

 Формулу (23) легко запомнить, как правило умножения «строка на столбец»: произведение матриц Am´n и Bn´k есть матрица Cm´k, у которой элемент cij равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы В.

 Замечание. Перемножать можно только соответственные матрицы А и В, т.е.число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В.

Если задан многочлен , то матричным многочленом  называется выражение

,

где А – квадратная матрица,  и Е – единичная матрица той же размерности, что и А. Значением матричного многочлена является матрица.

Определители

  Определитель второго порядка (определитель квадратной матрицы второго порядка):

det A == a11 a22 – a12 a21­. (24)

 Определитель третьего порядка (определитель квадратной матрицы третьего порядка):

det A = (25)

 Для краткости определитель обозначают: |A| или Δ.

 Минором элемента aij определителя называется определитель, который получается из исходного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца (обозначается Mij).

 Алгебраическим дополнением элемента aij определителя (обозначается Aij) называется число:

 Aij = (–1)i+j× Mij. (26)

 Определитель третьего порядка можно вычислить, используя его разложение по 1-й строке:

, (27)

или, в краткой записи:

,

т.е. определитель равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Аналогично можно записать разложение определителя по любой другой строке или столбцу.

Решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Крамера 

Пусть дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными :

  (28)

(коэффициенты aij и свободные члены bj для i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 считаются заданными).

Тройка чисел  называется решением системы (28), если в результате подстановки этих чисел вместо  все три уравнения системы обращаются в тождества.

  Систему (28) можно переписать в матричном виде:

,  или AX = B,

где A – это матрица коэффициентов при неизвестных, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов:

 

Составим определитель матрицы А и три вспомогательных определителя:

  (29)

Определитель Δ называется главным определителем системы (28). Вспомогательные определители Δ1, Δ2 и Δ3 получаются из Δ заменой элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

Если определитель , то существует единственное решение системы (28) и оно выражается формулами:

  (30)

 Формулы (30) называются формулами Крамера.

 Решение системы трех линейных алгебраических уравнений при помощи обратной матрицы 

 

Присоединенной (союзной) матрицей к квадратной матрице

 А= называется матрица

 ,  (31)

где  – алгебраические дополнения элементов  определителя матрицы А.

Матрица  называется обратной к квадратной матрице А, если выполнено условие: , где Е – единичная матрица той же размерности, что и  А. 

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда квадратная матрица А – невырожденная, т.е..

Чтобы найти обратную матрицу , необходимо:

а) проверить невырожденность матрицы  А, вычислив определитель detA;

б) найти союзную матрицу А* к матрице А;

в) найти обратную матрицу по формуле:

.  (32)

Если систему линейных алгебраических уравнений (28) переписать в матричном виде AX = B, то ее решение можно получить матричным способом, т.е. при помощи обратной матрицы:

, (33)

где  – обратная матрица для данной матрицы А.

Векторы. Операции над векторами 

Вектор  может быть представлен в виде:

  (34)

где  – проекции вектора  на оси координат (координаты вектора), векторы   – это орты (единичные векторы) координатных осей (рис. 17).

 Векторную  формулу (34) можно писать сокращенно:   = {ax; ay; az}.

Орты  имеют проекции:

={1; 0; 0}, ={0; 1; 0}, ={0; 0; 1}.

Модуль (длина) вектора = {ax; ay; az} определяется по формуле:

 .  (35)

 Координатами точки М называют проекции ее радиус-вектора   (рис. 17). Обозначают координаты точки М(x; y; x) или М(xМ; yМ; xМ).

 Расстояние между точками А (xА , yА , zА) и B(xВ, yB, zB,) определяется по формуле: 

.  (36)

 Если известны координаты точек – начала и конца вектора :

 А (xА , yА , zА), B(xВ, yB, zB), то проекции вектора  можно найти по формуле:

 . (37)

Пусть даны векторы = {ax; ay; az} и = {bx; by; bz}, тогда проекции суммы (разности) векторов:

.  (38)

Произведение вектора на число: если λ – число и , то

= { λax; λay; λaz }. (39)

 Скалярное произведение векторов  и  – это число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

 

где φ – угол между векторами  и .

 Другие обозначения скалярного произведения: , .

 Если = {ax; ay; az}, = {bx; by; bz}, то скалярное произведение

  (40)

При помощи скалярного произведения можно найти угол между векторами:

  (41)

а также проекцию одного вектора на ось другого вектора:

  (42) 

Векторное произведение вектора  на вектор  – это вектор , удовлетворяющий трем условиям:

 1) ,

 2) векторы ,  и  образую правую тройку; 

3) , то есть || равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис. 18). 

Обозначения векторного произведения:

Если = {ax; ay; az}, = {bx; by; bz}, то векторное произведение можно вычислить при помощи определителя:

или, с использованием формулы (27):

   (43)

Векторное произведение используют, когда нужно найти вектор , перпендикулярный двум данным векторам   и , а также для вычисления площади параллелограмма (или треугольника), построенного на векторах  и  (рис. 18): 

   (44)

 

 Смешанным произведением трех векторов , и  называется число, равное скалярному произведению векторов   и .

  Обозначения смешанного произведения:  или .

 Если = {ax; ay; az}, = {bx; by; bz} и = {сx; сy; сz}, то смешанное произведение можно вычислить при помощи определителя:

=. (45)

 Если три ненулевых вектора ,  и  параллельны одной и той же плоскости (компланарны), то их смешанное произведение равно нулю:

= 0. (46)

 Объем V параллелепипеда, построенного на векторах , и  можно вычислить по формуле:

 . (47)

Уравнение плоскости в пространстве 

 

Общее уравнение плоскости:

где A, B, C – координаты вектора нормали вектора  (любого вектора, перпендикулярного данной плоскости), D – свободный член уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору

.  (48)

 Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки   :

.  (49)

 Угол  между двумя плоскостями, заданными уравнениями   и  определяется как угол между векторами их нормалей  и   или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), то есть

.  (50)

8. Уравнения прямой в пространстве 

 

 Параметрические уравнения прямой l в пространстве:

  (51)

где – фиксированная точка прямой;

– направляющий вектор прямой l, т.е. любой вектор, параллельный l;

t – числовой параметр. 

 Каждому значению параметра  соответствует единственная точка прямой l.

 Канонические уравнения прямой:

 . (52)

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки  и :

.  (53)

 

 Углом  между прямыми называют угол между их направляющими векторами ={m1; n1; p1} и ={m2; n2; p2}, или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), то есть

 . (54)

 Углом между плоскостью и прямой l (в случае их пересечения) называется угол между прямой и её проекцией на плоскость. Синус угла  между плоскостью   и прямой  определяется по формуле:

.  (55)

Задача.  Даны многочлен f(x) и матрица А: 

Задача. Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой.

Матрицы и определители. Понятие матриц (матрица-строка, матрица-столбец, квадратная, единичная, диагональная). Равенство матриц. Действия над матрицами (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение матриц, транспонирование матриц). Определители 2-го, 3-го и n-го порядка. Минор и алгеброическое дополнение. Обратная матрица и ее вычисление.

Решить систему линейных уравнений: a) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса.

Рассмотрены методы вычисления определенных интегралов с помощью ЭВМ (прямоугольников, трапеций, Симпсона и Гаусса). Представлены примеры, которые демонстрируют их возможности и технологию работы с ними. Метод прямоугольников Многие прикладные научные и технические задачи сводятся к интегрированию некоторых функций. Вычисление площадей, объемов, центра масс, работы, производимой распределенными силами, и многих других физических величин приводят к интегрированию функций. Геометрический смысл простейшего определенного интеграла
Решение задач на вычисление интегралов