Метод непосредственного интегрирования Аналитическая геометрия на плоскости Элементы  линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве Основы дифференцирования Интегрирование по частям Двойной интеграл.

Введение в математический анализ. Вычисление интеграла

Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к определенному интегралу. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия на плоскости»

1. Декартова система координат (ДСК) на плоскости

 Расстояние |АВ| между двумя точками А(хА; уА) и В(хВ; уВ) (рис.1): 

|AB| = . (1)

Деление отрезка в заданном отношении. Если точка С делит отрезок АВ в отношении λ, начиная от точки A (рис. 1), т.е. , то координаты точки C:

 . (2)

 Если точка С делит отрезок АВ пополам, т.е. =1, то координаты точки C:

 . (3)

В ДСК уравнение линии имеет вид F(х, у) = 0 или у = f(х).

2. Полярная система координат (ПСК)

 

  Положение точки М в ПСК (рис.2) определяют две координаты: М,  где r – полярный радиус

(r = |0M|), φ = – полярный угол.

 ОДЗ для полярных координат:  или

 Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то получим формулы связи между декартовыми координатами точки M(x; y) и ее полярными координатами  М:

  и  (4)

Чтобы найти полярный угол φ по известному значению tgφ, нужно

учесть, в какой четверти координатной плоскости находится точка М:

  (5)

В ПСК уравнение линии имеет вид F(r, φ) = 0 или r = f(φ).

3. Прямая линия на плоскости

 Общее уравнение прямой на плоскости: 

Ах + В у + С = 0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3):

  у = k x + b. (6)

Уравнение вертикальной прямой (рис. 3):

 х = а.  (7)

Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М(х0; у0­) (уравнение пучка прямых):

 у – y0 = k(x – x0). (8)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А(х1; у1) и В(х2; у2): 

 . (9)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

 . (10)

 Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами:  у = k1 x + b1 и у = k2 x + b2.

Условие параллельности прямых на плоскости: 

 k1 = k2.. (11) 

Условие перпендикулярности прямых: 

 .  (12)

 Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то k1 = 0 и обратно: если k2 = 0, то k1 не существует. 

 Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти, используя формулу:

  , (13)

откуда . Если одна из прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то .

4. Кривые второго порядка

Каноническое уравнение эллипса: 

 .  (14)

Термины и обозначения основных элементов эллипса (рис. 4):

O – центр эллипса;

с – фокусное расстояние;

F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы эллипса;

|А1А2| = 2a – длина большой оси;

а – большая полуось эллипса;

|B1B2| = 2b – длина малой оси;

b – малая полуось эллипса.

Для эллипса справедливо: c2 = a2 – b2.

Число  называется эксцентриситетом эллипса .

Если a < b, то эллипс имеет вытянутую по вертикали форму (рис. 5).

В этом случае фокусы эллипса F1(0; –c), F2(0; c), эксцентриситет   и справедливо c2 = b2 – a2.

Если  a = b, то уравнение эллипса становится уравнением окружности:

x2 + y2 = R2 ,

где R= a= b.

 В этом случае фокусы эллипса совпадают с центром окружности, фокусное расстояние с = 0, эксцентриситет окружности .

Каноническое уравнение гиперболы: 

 . (15) 

Термины и обозначения основных элементов гиперболы (рис. 6):

O – центр гиперболы;

с – фокусное расстояние;

F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы гиперболы;

|А1А2| = 2a – длина вещественной оси;

а – вещественная полуось гиперболы;

|B1B2| = 2b – длина мнимой оси;

b – мнимая полуось гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы:

 .

 

Для гиперболы справедливо: с2 = a2 + b2.

 Число  называется эксцентриситетом гиперболы .

Канонические уравнения параболы.

Существуют 4 вида канонических уравнений параболы:

х2 = 2ру. (16)

Фокус F(0; ), уравнение директрисы: у = –.

 Рис. 7.

х2 = –2ру. (17)

Фокус F(0; –), уравнение директрисы: у = .

 Рис. 8.

у2 = 2рх. (18)

Фокус F(; 0), уравнение директрисы: х = –.

 Рис. 9.

у2 =–2рх . (19)

 Фокус F(–; 0), уравнение директрисы: х =.

 Рис. 10.

Термины и обозначения основных элементов параболы: O – вершина параболы, F – фокус параболы, p – параметр параболы (расстояние от фокуса F до директрисы l).

Для приведения уравнения кривой со смещенным центром к каноническому виду может быть использован параллельный перенос системы координат ХОY в точку O1(α; β). При параллельном переносе координаты любой точки М (х; у) в новой системе координат X1O1Y1 будут (х1; у1), где 

  (20)

Примеры таких преобразований приведены в таблице 2.

 Таблица 2.

В системе координат ХОY

В системе координат X1O1Y1

 Окружность с центром в точке O1(α;β) и с радиусом R:

 

 Каноническое уравнение окружности:

 Эллипс с центром в точке O1(α;β):

 

 Каноническое уравнение эллипса:

Гипербола с центром в точке O1(α;β): 

Каноническое уравнение гиперболы: .

Параболы с вершиной в точке O1(α;β)

или .

Канонические уравнения парабол:

  или

Градиент. Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке ,

 Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.

Функциональные ряды.  Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда   называются функции

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №1 Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС:

Рассмотрены методы вычисления определенных интегралов с помощью ЭВМ (прямоугольников, трапеций, Симпсона и Гаусса). Представлены примеры, которые демонстрируют их возможности и технологию работы с ними. Метод прямоугольников Многие прикладные научные и технические задачи сводятся к интегрированию некоторых функций. Вычисление площадей, объемов, центра масс, работы, производимой распределенными силами, и многих других физических величин приводят к интегрированию функций. Геометрический смысл простейшего определенного интеграла
Решение задач на вычисление интегралов