Числовые последовательности Признак монотонности функции Функции нескольких переменных Система линейных алгебраических уравнений Экономический анализ транспортных задач

Математический анализ, математическая статистика

Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечно много элементов. Рассматривают и множество, не содержащее элементов, его называют пустым и обозначают символом

Случайные величины и законы их распределения

Виды случайных величин

В главе 17 рассматривались события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, среди трех изъятых деталей может оказаться до трех стандартных.

Определение 1. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин.

Каждой случайной величине соответствует множество чисел — это множество значений, которые она может принимать. Например, число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может принимать значения от 0 до 100. Далее будем обозначать случайные величины прописными буквами, а их возможные значения — строчными буквами; например, случайная величина Х имеет два возможных значения x1 и х2. Другой пример: случайная величина Y принимает возможные значения, принадлежащие интервалу (а, b). Различают два вида случайных величин.

Определение  2. Случайная величина, принимающая отдельные возможные значения с определенными вероятностями, называется дискретной случайной величиной.

Определение 3. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Как следует из определения 2, для задания дискретной случайной величины нужно задать не только перечень ее возможных значений, но и их вероятности. Иными словами, каждому возможному значению случайной величины соответствует определенное значение вероятности появления этой величины.

Пример Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z.

Дискретные случайные величины

Определение 4. Соответствие между отдельными возможными значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Как и в случае функциональной зависимости, этот закон можно задать таблицей, аналитически (формулой) и графически. В случае табличного задания закона распределения дискретной случайной величины соответствующая таблица состоит из двух строк — первая указывает возможные значения, а вторая — их вероятности:

Поскольку в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события Х = х1, Х = х2, …, Х = xп образуют полную группу, т.е. сумма их вероятностей равна единице:

Если множество возможных значений Х дискретной случайной величины бесконечно, то соответствующий ряд вероятностей сходится и его сумма равна единице:

Пример 1. В денежной лотерее на 100 билетов разыгрывается один выигрыш в 20 р., два выигрыша по 10 р. и 10 выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х возможного выигрыша на один билет.

Решение. Возможные значения X: x1 = 20, x2 = 10, x3 = 1, x4 = 0. Соответственно их вероятности равны: p1 = 0,01, р2 = 0,02, р3 = 0,1, р4 = 1 - (p1 +p2 + р3) = 1 - 0,13 = 0,87. Таким образом, искомый закон распределения имеет вид

Пример 2. Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. Наудачу отбираются 3 изделия. Составить таблицу закона распределения числа стандартных изделий среди отобранных.

Решение. Случайная величина Х — число стандартных деталей среди отобранных — может принимать 4 возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятность нахождения k стандартных изделий среди трех отобранных определяется формулой

Варьируя значения k от 0 до 3, получаем искомое распределение:

Пример 3. Вероятностный прогноз для величины Х — процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течение шести месяцев — дан в виде закона распределения:

Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 36% годовых.

Решение. Прирост суммы на банковском депозите при условии 3% в месяц составит через 6 месяцев [(l,03)6 - l]100% = 19,4%. Вероятность того, что покупка акций выгоднее банковского депозита, определяется суммой вероятностей, соответствующих более высокому росту курса акций:

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, соединив в прямоугольной системе координат ХОР точки (хi, рi) отрезками прямых. Так, на рис. 18.1 показан закон распределения из примера 3. Такая фигура называется многоугольником распределения.

Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна (см. раздел 17.5). В качестве дискретной случайной величины Х рассмотрим число появления события А в этих п испытаниях. Очевидно, что x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, ..., xn+1 = n. Вероятности этих возможных значений k даются формулой Бернулли (см. формулу (17.16)):

где q = 1 - р — вероятность противоположного события (непоявление события А в одном испытании). Формула (18.2) представляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины (числа появления события А в n независимых испытаниях), которое называется биномиальным. Этот закон получил свое название потому, что правая часть в (18.2) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона (17.2). Таким образом, табличная форма биномиального закона с учетом формулы (18.2) имеет вид

Можно показать, что сумма всех вероятностей второй строки этой таблицы равна единице, т.е.

Пример 4. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вернувших кредит по окончании срока кредитования.

Решение. Примем за А событие невозврата кредита. Так как заемщики действуют независимо, то выдачу 5 кредитов можно считать за 5 независимых событий. Вероятность невозврата k кредитов из 5 описывается биномиальным распределением (18.2), где р = 0,2, q = 0,8, k принимает значения от нуля до 5. Искомая таблица закона распределения составляется, согласно (18.3), при п = 5:

или окончательно:

Распределение Пуассона

Пусть в каждом из п производимых испытаний вероятность появления события А равна р. Как мы знаем, для определения вероятности k появлений события А используется формула Бернулли (18.2); при больших п пользуются асимптотической формулой Лапласа (17.17). Однако эта формула плохо подходит для случая, когда р мало. Для случая малых значений р и больших значений п используется асимптотическая формула Пуассона. Эта формула выведена при важном допущении, что произведение пр является постоянной величиной, т.е. пр = λ. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз, дается формулой, которая представляет собой закон распределения Пуассона вероятностей массовых и редких событий:

Пример 5. На базу отправлено 10 000 изделий. Вероятность того, что изделие в пути получит повреждение, равна 0,0003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия.

Решение. По условию задачи п = 10 000, р = 0,0003, k = 4. Находим А, а затем по формуле (18.4) и искомую вероятность:

 

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Установленный закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто используются числовые характеристики случайной величины, которые дают некоторое осредненное описание случайной величины, получаемое на базе закона ее распределения.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть случайная величина Х может принимать значения x1, x2, ... , xn c вероятностями соответственно p1, p2, …, pn.

Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Из этого определения следует, что математическое ожидание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина. Вероятностный же смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (в особенности для большого числа испытаний) среднему арифметическому значений случайной величины. Это хорошо видно в случае, когда вероятности всех возможных значений дискретной случайной величины равны: pi = р = 1/n; из формулы (18.5) получаем

Пример 1. Найти математическое ожидание количества очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение. Выпадение каждой грани кубика от одного очка до шести имеет одинаковую вероятность р = 1/6. Следовательно, по формуле (18.6) получаем искомое математическое ожидание:

Пример 2. Найти математическое ожидание числа невозврата кредитов по данным примера 4 п. 18.1.

Решение. Воспользуемся итоговой таблицей распределения дискретной случайной величины, полученной в этом примере, и формулой (18.6); находим

Свойства математического ожидания

Математическое ожидание обладает рядом свойств, которые указаны ниже.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Свойство 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Пример 3. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в некотором автосалоне составляют в среднем 100 тыс. р., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется следующему закону распределения:

Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене на машину 150 тыс. р.

Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле

Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных выше свойств математического  ожидания (в тыс. р.):

Если в п независимых испытаниях вероятность появления в каждом из них события А постоянна, то ответ на вопрос о среднем числе появления события А дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

Пример 4. Найти математическое ожидание числа выигрышных лотерейных билетов, если вероятность выигрыша по одному билету равна 0,015, причем куплено 200 билетов.

Решение. Поскольку приобретение каждого билета является независимым испытанием относительно появления события А — выпадения выигрыша, то здесь применимы теорема 18.1 и формула (18.7). В нашем случае n = 200, р = 0,015, откуда мы получаем

Дисперсия дискретной случайной величины

Как уже говорилось выше, математическое ожидание является средней характеристикой случайной величины. Однако оно не характеризует случайную величину достаточно полно, и по этой причине рассматриваются и другие числовые характеристики. Пусть Х — случайная величина, а М(Х) — ее математическое ожидание.

Определение 2. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением.

Пусть закон распределения случайной величины Х дается формулой (18.1), тогда отклонение X - M(X) имеет следующий закон распределения:

Отклонение имеет важное свойство, которое устанавливается непосредственно из свойств математического ожидания:

т.е. математическое ожидание отклонения равно нулю.

Пример 5. По данным примера 3 найти закон распределения отклонения числа проданных за день автомашин.

Решение. Как было подсчитано в примере 3, М(Х) = 2,675. Тогда, согласно (18.8), искомый закон определяется следующей таблицей:

На  практике важной характеристикой является рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Среднее значение отклонения, согласно (18.9), равно нулю, так как суммируются отрицательные и положительные отклонения (см. пример 5), поэтому целесообразно ввести в рассмотрение абсолютные значения отклонений или их квадраты.

Определение 3. Математическое ожидание квадрата отклонения называется дисперсией, или рассеянием:

Пусть случайная величина задана законом распределения (18.1), тогда квадрат отклонения этой случайной величины имеет следующий закон распределения:

Отсюда, согласно формуле (18.10), получаем формулу дисперсии в развернутом виде:

При вычислении дисперсии часто бывает удобно воспользоваться формулой, которая непосредственно выводится из формулы (18.10):

Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 3.

Решение. Закон распределения случайной величины X2 имеет вид

Математическое ожидание М(Х2) подсчитывается из этой таблицы:

Математическое ожидание М(Х) = 2,675. Следовательно, согласно формуле (18.11), получаем искомую величину дисперсии:

Свойства дисперсии

Приведем здесь основные свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Перечисленные свойства дисперсии используются при вычислениях, когда мы имеем дело с несколькими случайными величинами. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D(X + C) = D(X), где С — постоянная величина. Кроме того, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле

Приведем здесь еще два важных результата: для случайной величины, распределенной по закону Пуассона (18.4), математическое ожидание и дисперсия равны параметру данного распределения.

Пример 7. Найти дисперсию числа выигрышных лотерейных билетов по данным примера 4.

Решение. Имеем 200 независимых испытаний с вероятностью появления выигрышного билета р = 0,015. Стало быть, q = 1 - 0,015 = 0,985, откуда и получаем искомую дисперсию:

Пример 8. Банк выдал ссуды п разным заемщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти математическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании равна q = 1 - р. Пусть Х — число заемщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется формулой

где Х является случайной величиной с биномиальным законом распределения. Тогда, согласно теореме 18.1, математическое ожидание прибыли определяется с использованием формулы (18.7):

Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положительном математическом ожидании прибыли (положительная средняя величина прибыли), то из условия М(П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:

Дисперсия прибыли банка находится, согласно теореме 18.2, с использованием формулы (18.14) и свойств 1-3:

Среднее квадратическое отклонение

Одной из основных оценок рассеяния возможных значений случайной величины служит среднее квадратическое отклонение.

Определение 4. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х (стандартом) называется квадратный корень из ее дисперсии:

Согласно этому определению, из свойства 3 и формулы (18.13) следует, что в случае суммы взаимно независимых случайных величин справедлива формула

Пример 9. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной следующим распределением:

Решение. Имеем М(Х) = 2,6. Составим таблицу распределения случайной величины X2:

Отсюда получаем, что М(Х2) = 14,4. По формулам (18.11) и (18.15) окончательно получаем искомые значения D(X) и. σ(Х):

Пример 10. Законы распределения независимых случайных величин Х и Y приведены соответственно в таблицах:

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z = 2Х + 3Y.

Решение. Согласно свойствам 2 и 3 дисперсии (формулы (18.12) и (18.13)), имеем

Для вычисления дисперсий D(X) и D(Y) составляем соответствующие таблицы — законы распределения случайных величин Х2 и Y2:

Отсюда получаем

Искомые дисперсия и среднее квадратичное отклонение случайной величины Z равны:

Пример 11. В условиях примера 8 найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение прибыли при п = 1000, р = 0,8, S = 100 тыс. р. и r = 30%.

Решение. Ставка ссудного процента удовлетворяет условию, чтобы математическое ожидание прибыли было положительным: 30 > 100 (1 - 0,8) / 0,8. Математическое ожидание прибыли:

Среднее квадратическое отклонение прибыли:

Начальные и центральные моменты

Определение 5. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Хk:

В частности,

и тогда формула (18.11) для вычисления дисперсии принимает вид

Определение 6. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени отклонения:

В частности, согласно формуле (18.9), μ1 = 0, а дисперсия случайной величины Х является центральным моментом второго порядка:

Соотношения, связывающие начальные и центральные моменты, также могут быть легко получены. Приведем их здесь для моментов третьего и четвертого порядков (они наряду с моментами первого и второго порядков широко применяются в статистике):

Моменты более высоких порядков применяются крайне редко.

Моменты, рассмотренные в этом разделе, называют теоретическими. В отличие от них моменты, вычисляемые по данным наблюдений в математической статистике, называют эмпирическими.

Система двух случайных величин Двумерная случайная величина До сих пор мы рассматривали дискретные случайные величины, которые называют одномерными: их возможные значения определялись одним числом. Кроме одномерных величин рассматривают также величины, возможные значения которых определяются несколькими числами. Двумерную случайную величину обозначают через (X, Y); каждая из величин X и Y называется компонентой (составляющей). Обе величины Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Например, при штамповке стальных пластинок их длина и ширина представляют собой двумерную случайную величину.

Основные распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение Определение. Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной.

Управление и планирование являются наиболее сложными функциями в работе предприятий, фирм, служб администраций всех уровней. Долгое время они являлись монополией человека с соответствующей подготовкой и опытом работы. Совершенствование науки, техники, разделение труда усложнили принятие решений в управлении и планировании.

Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными

Понятие комплексного числа. Комплексным числом называется выражение вида a + ib , где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей . Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом: Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда a = b и c = d . Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число a + c + i ( b + d ). Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число ac – bd + i ( ad + bc ).
Решение задач математического анализа