Числовые последовательности Признак монотонности функции Функции нескольких переменных Система линейных алгебраических уравнений Экономический анализ транспортных задач

Математический анализ, математическая статистика

Второй замечательный предел Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности . Рассмотрим возрастающую последовательность: Для нее для любого натурального n. Если эта последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела, так как ее члены неограниченно возрастают. Если же возрастающая последовательность ограничена, то она имеет предел. Этот факт доказывается в полных курсах математического анализа [6], мы приведем лишь его полную формулировку. ^ Теорема 1 (достаточный признак существования предела последовательности)

Функции нескольких переменных

Евклидово пространство Em

Евклидова плоскость и евклидово пространство

Как мы знаем, множество всех упорядоченных пар вещественных чисел (x, у) называется координатной плоскостью и каждая точка на ней характеризуется парой своих координат: М(x, у).

Определение 1. Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точками M1(x1, y1) и М2(x2, y2) определено по формуле

Аналогично вводится и понятие евклидова пространства. В этом случае каждая точка координатного пространства характеризуется тройкой чисел и тогда расстояние между двумя любыми точками пространства M(x1, y1 ,z1) и М(x2, y2, z2) определяется формулой

Стало быть, евклидова плоскость и евклидово пространство определяются способом измерения расстояния между двумя любыми своими точками.

Понятия m-мерного координатного пространства и m-мерного евклидова пространства Частные производные высших порядков. Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.

Определение 2. Множество всевозможных упорядоченных совокупностей т действительных чисел (x1, х2, x3, ..., xm) называется т-мерным координатным пространством Аm.

Каждую упорядоченную совокупность (x1, x2, x3,, … ,xт,) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М. При этом числа x1, x2, x3, …, xm называются координатами точки М, что символически записывается следующим образом: М(x1, x2, ..., xm).

Определение 3. Координатное пространство Аm называется т-мерным евклидовым пространством Еm, если между двумя любыми точками М'(х1', х2, '... , хm') и М"(x1'', х2'',... , хm'') пространства Аm определено расстояние ρ(М', М") по формуле

Очевидно, что введенные понятия m-мерного координатного пространства Аm и m-мерного евклидова пространства Em являются обобщениями понятий соответственно координатных плоскости и пространства и евклидовых плоскости и пространства.

8.2. Множества точек евклидова пространства Еm

Примеры множеств евклидова пространства Еm

Будем обозначать символом {М} некоторое множество точек m-мерного пространства Еm. Рассмотрим некоторые примеры множеств в этом пространстве.

1. Множество {М} всевозможных точек, координаты x1, x2, ..., xm которых удовлетворяют неравенству

называется т-мерным шаром радиуса R с центром в точке M0(x,x,...,x).

Этот пример является m-мерным обобщением соответственно круга на евклидовой плоскости и шара в трехмерном евклидовом пространстве, которые задаются следующими неравенствами:

Неравенство (8.2) можно переписать с учетом (8.1) в виде

В случае строгого неравенства ρ(М, М0) < R множество {М} называется открытым т-мерным шаром. Часто это множество также называют R-окрестностью точки M0. В случае (8.3) если неравенство не строгое, множество {М} называется замкнутым т-мерным шаром. Эти понятия переносятся на случай любой размерности при т ≥ 2.

2. Множество {М} точек, таких, что расстояние от каждой из них до некоторой точки M0 удовлетворяет равенству ρ(М, М0) = R, называется т-мерной сферой радиуса R с центром в точке M0.

Аналогия: для плоскости — окружность (x – x0)2 + (у – y0)2 = R2 радиуса R с центром в точке М0(х0, у0), для пространства — сфера (x – x0)2 + (у – y0)2 + (z – z0)2 = R2 радиуса R с центром в точке М0(х0, у0, z0).

Понятие функции нескольких переменных

Введем понятие функции нескольких переменных.

Определение 1. Пусть каждой точке М из множества точек {М} евклидова пространства Em по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число и из числового множества U. Тогда будем говорить, что на множестве {М} задана функция и = f(M). При этом множества {М} и U называются соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M).

Как известно, функция одной переменной у = f(x) изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения {Мп} функции z = f(x, y) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оху (рис. 8.1). Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E3. Аналогичным образом функция от т переменных

определенная на множестве {М} евклидова пространства Еm, представляет собой гиперповерхность в евклидовом пространстве Еm+1.

Некоторые виды функций нескольких переменных

Рассмотрим примеры функций нескольких переменных и найдем их области определения.

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Е3. Областью определения этой функции является все множество точек плоскости Оху. Область значений этой функции — промежуток [0, ). Данная функция представляет собой параболоид вращения (рис. 8.2): в вертикальных сечениях этой поверхности плоскостями Oxz и Оуz получаются соответственно параболы z = х2 и z = у2.

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Е3. Область определения данной функции — все множество точек евклидова пространства Е2 или плоскости Оху. Эта функция является так называемым эллиптическим конусом с вершиной в начале координат O(0, 0, 0); приведенная формула суммирует две функции, задающие две его симметричные относительно плоскости Оху части (рис. 8.3):

Приведем теперь наиболее часто встречающиеся в различных приложениях виды функций нескольких переменных.

1. Уравнение вида

называется общим уравнением плоскости в системе координат Oxyz. Вектор = (А, В, С) перпендикулярен плоскости (8.4); он называется нормальным вектором этой плоскости. Если известно, что плоскость проходит через некоторую точку M0(x0, y0, z0), то она может быть задана уравнением

Например, составить уравнение плоскости с перпендикулярным вектором  = (1, 2, -1), проходящей через точку М0 (2, 1, 1), Согласно формуле (8.5) имеем

2. Функция Кобба—Дугласа — производственная функция, показывающая объем выпуска продукции Q при затратах капитала К и трудовых ресурсов L. Для случая двух переменных она имеет вид

где А > 0 — параметр производительности конкретно взятой технологии, 0 < α < 1 — доля капитала в доходе.

Линии уровня

Понятие линии уровня широко используется прежде всего в геодезии, картографии, при составлении синоптических карт, а также при описании различных физических полей (температура, давление и пр.).

Определение 2. Линией уровня функции двух переменных z = f(x, y) называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции плоскостью z = С, где С — постоянная величина, параллельной координатной плоскости Оху.

Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям постоянной величины С, проецируются на одну плоскость, например на координатную плоскость Оху; тогда их удобно анализировать и с их помощью исследовать сложный характер поверхности, описываемой функцией z = f(x, у).

Таким образом, можно сказать, что линии уровня функции z = f(x, у) — это семейство кривых на координатной плоскости Оху, описываемое уравнениями вида

Обычно берут арифметическую прогрессию чисел Ci с постоянной разностью h; тогда по взаимному расположению линий уровня можно получить представление о форме поверхности, описываемой функцией z = f(x, у). Там, где функция изменяется быстрее, линии уровня сгущаются, а там, где поверхность пологая, линии уровня располагаются реже (рис. 8.4).

Пример 3. Найти линии уровня функции z = х2 + у2 — 2х — 2у.

Решение. Линии уровня данной функции — это семейство кривых на плоскости Оху, описываемое уравнением

Последнее уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке O1(l, 1) радиуса r =. Поверхность вращения (параболоид), описываемая данной функцией, становится "круче" по мере ее удаления от оси, которая дается уравнениями x = 1, у = 1.

8.3. Частные производные функции нескольких переменных

Частные производные первого порядка

Пусть функция двух переменных z = f(x, у) определена в некоторой окрестности точки М(x, у) евклидова пространства Е2. Частная производная функции z = f(x, у) по аргументу x является обыкновенной производной функции одной переменной х при фиксированном значении переменной у и обозначается как

Аналогичным образом определяется частная производная функции f(x, у) по переменной у в точке М, обозначаемая как

Функция, имеющая частные производные, называется дифференцируемой.

Совершенно аналогично определяются частные производные функций трех и более переменных. Частная производная функции нескольких переменных характеризует скорость ее изменения по данной координате при фиксированных значениях других координат.

Найти частные производные следующих функций.

Решение. Дифференцируем функцию z = f(x, y) сначала по х, полагая у фиксированной величиной, потом повторяем эту же процедуру, меняя роли x и у. Получаем

Ррешение. Частные производные этой функции трех переменных выражаются следующими формулами:

Пример 4. Найти предельные показатели продукции Q при изменении одного из факторов: затрат капитала К или величины трудовых ресурсов L — по функции Кобба—Дугласа

Решение. Частные производные этой функции

дают решение сформулированной выше задачи. Очевидно, что в функции Кобба—Дугласа показатели степеней α и l — α представляют собой соответственно коэффициенты эластичности EK(Q) и EL(Q) по каждому из входящих в нее аргументов.

Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных и = f(x, у, z), дифференцируемую в некоторой точке M(x, y, z).

Определение 1. Градиентом функции и = f(x, у, z) называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным  в точке М.

Для обозначения градиента функции используется символ

Аналогично в случае функции двух переменных и = f(x, у) имеем

Градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

Для определения геометрического смысла градиента функции введем понятие поверхности уровня. Это понятие аналогично понятию линии уровня, рассмотренному в п. 8.2.

Определение 2. Поверхностью уровня функции и = f(x, у, z) называется поверхность, на которой эта функция сохраняет постоянное значение

В курсе математического анализа доказывается, что градиент в данной точке ортогонален к этой поверхности.

В случае функции двух переменных все сказанное выше остается в силе, только вместо поверхности уровня будет фигурировать линия уровня. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 5. Найти градиент и его модуль функции z =  в точке М (0, 1).

Решение. По формуле (8.8) имеем для функции двух переменных

При х = 0 и у = 1 получаем

Пример 6. Найти градиент и его модуль функции и = x2 + у2 - z2 в точке М (1, 1, -2).

Решение. По формуле (8.7) имеем

Подставляя в это выражение координаты точки М, получаем

Пример 7. Найти поверхности уровня функции u = х2 — 2х + у2 + 2у — z.

Решение. Согласно определению поверхности уровня (8.9) имеем

где С = с + 2. Следовательно, поверхностями уровня данной функции являются параболоиды вращения с осью х = 1, у = -1, параллельной оси Oz, вершины которых лежат в точках с координатами (1, -1, -С).

Частные производные высших порядков

Частные производные первого порядка от функции двух и более переменных также представляют собой функции нескольких переменных, и их можно также продифференцировать, т.е. найти частные производные от этих функций. Так, для функции двух переменных вида z = f(x, у) возможны четыре вида частных производных второго порядка:

Частные производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными производными. Аналогичным образом для функций нескольких переменных определяются частные производные более высоких порядков.

Рассмотрим два примера нахождения частных производных второго порядка для функции двух переменных.

Решение. Последовательно дифференцируя, получаем

Решение. По правилам дифференцирования произведения имеем

В рассмотренных примерах смешанные производные оказались равными друг другу, хотя это бывает и не всегда. Ответ на вопрос о независимости смешанных вторых производных от порядка дифференцирования функции двух переменных дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если функция z = f(x, у) дважды дифференцируема в точке М0(x0, y0), тo ее смешанные производные в этой точке равны.

Локальный экстремум функции нескольких переменных Определение и необходимые условия существования локального экстремума Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М0 (x0, у0) — некоторая точка этого множества.

Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

В этой главе мы рассмотрим некоторые примеры применения теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики, где независимой переменной является время t. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономической динамики.

Экстремум функции нескольких переменных. Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4). Пусть функция z = f(x;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) I^ D. Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z = f(x;y), если существует такая ?-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (х0;у0), из этой окрестности выполняется неравенство f(х;у
Решение задач математического анализа