Раздел дифференциальных уравнений представлен линейными уравнениями I порядка, однородными уравнениями I порядка, уравне-ниями в полных дифференциалах, линейными дифференциальными уравнениями высших порядков с постоянными коэффициентами.Интегралы по поверхности 1 и 2 рода
Поверхностные интегралы 1-го рода. Пусть
- двусторонняя поверхность, имеющая площадь
. Рассмотрим разбиение
этой поверхности на части
с помощью непрерывных кривых. Пусть функция
определена во всех точках поверхности
. Выберем произвольным образом точки
и рассмотрим сумму
.
Определение. Пусть
. Если
, то мы говорим, что
есть поверхностный интеграл 1-го типа от функции
по поверхности
и обозначаем это следующим образом:
.
Отметим, что в определении интеграла первого типа сторона поверхности не участвует. Пример задачи, моделью которой служит поверхностный интеграл первого типа – нахождение массы поверхности
, поверхностная плотность которой в точке
равна
.
Для вычисления поверхностного интеграла 1-го типа удобно использовать следующие формулы. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием Повторные интегралы I случай. Прямоугольная область.
Теорема 1. Пусть поверхность
задана уравнением
, где
- непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области
функция,
. Тогда для любой непрерывной на поверхности
функции
.
Замачание 1. Если поверхность задана уравнением
, где
- непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области
функция, то
. Аналогично, в случае задания поверхности уравнением
при аналогичных условиях на область
и функцию
.
Теорема 2. Если поверхность
задана параметрическими уравнениями
, где
- непрерывно дифференцируемые функции на
. Пусть
непрерывна на
. Тогда
.
Теоремы 1 и 2 мы оставим без доказательства.
Вместо этого приведем пример вычисления поверхностного интеграла 1-го типа.
Задача. Найти
, где
- граница тела
.
Решение. Это тело представляет собой конус.
состоит из боковой поверхности
и основания
. На боковой поверхности, уравнение которой
всюду, кроме точки
и
и
.
Нарушение этой формулы в единственной точке
не повлияет на результат, поэтому
, где
- проекция
на плоскость
, т.е.
- круг
.
В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам:
(
- якобиан преобразования)
.
Основание
задано уравнением
, поэтому
и
(этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).
Итак, весь интеграл
.
Поверхностные интегралы 2-го рода.
Пусть
двусторонняя поверхность. Выберем определенную сторону этой поверхности. Пусть
обозначает нормаль, соответствующую выбранной стороне.
Предположим, что задано векторное поле
, определенное и непрерывное на
.
Определение. Величина
называется поверхностным интегралом 2-го типа от векторного поля
по выбранной стороне поверхности
.
Этот же интеграл часто записывают так:
. При этом для выбранной стороны использованы обозначения
,
.
Для вычисления поверхностного интеграла 2-го типа используются следующие правила.
Теорема 1. Пусть поверхность
задана уравнением
, где
- непрерывно дифференщируемая в области
функция,
- непрерывная на
функция. Тогда если выбрана верхняя сторона
, то
, а если выбрана нижняя сторона, то
.
Аналогично, если
задана уравнением
,
, где
- непрерывно дифференцируемая функция на
, то
, если нормаль составляет с осью
острый угол и
, если нормаль составляет с осью
тупой угол.
Если же
,
- непрерывно дифференцируемая на
функция, а
непрерывна на
, то
, если выбранная нормаль составляет с осью
острый угол и
, если нормаль составляет с осью
тупой угол.
Теорема сформулирована без доказательства.
Следствие 1. Если поверхность
допускает представление как в виде
, так и в виде
и в виде
, то при условиях теоремы 1
, где выбор знака + или – перед соответствующим слагаемым в правой части равенства определяется тем, какой угол составляют нормали к выбранной стороне с соответствующей осью.
Следствие 2. Если
представляет собой конечное объединение непересекающихся поверхностей,
, каждая из которых удовлетворяет условиям следствия 1, то
и для вычисления
используется следствие 1.
Теорема 2. Пусть двусторонняя поверхность
задана параметрическими уравнениями
, где
- непрерывно дифференцируемые функции и
.
Тогда для непрерывным на
функций
и выбранной нормали
, где, напоминаем,
,
,
. При этом выбор знака "+" или "-" перед интегралом производится в соответствии с выбором нормали (и, следовательно, стороны) поверхности. К примеру, если указано, что нормаль составляет с осью
острый угол, то знак перед интегралом совпадает со знаком
.
Теорема 2 также дана без доказательства.
Пример. Приведем пример вычисления поверхностного интеграла 2-го типа
, где
- внешняя сторона сферы
. Обозначим
. Из соображений симметрии очевидны равенства
, так что
. Поверхность
состоит из частей
и
, задаваемых уравнениями
(это
- верхняя полусфера) и
(это уравнение для нижней полусферы
). На
внешняя нормаль составляет с осью
острый угол, на
- тупой.
Поэтому
. Аналогично, т.к. на
, а нормаль составляет с осью
тупой угол,
. Значит,
. Поэтому
.
13.Формула Остроградского. Ее векторная запись
Теорема. Пусть
- замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело
в пространстве. Пусть выбрана внешняя сторона
. Пусть
- функции, имеющие непрерывные производные на
. Тогда
. Равносильная формулировка:
, где
- внешняя нормаль к
.
Доказательство. Предположим, что
ограничено сверху
- графиком функции
, снизу
-
,
, а сбоку – цилиндрической поверхностью
.
Вычислим
, т.к. на
внешняя нормаль составляет с осью
тупой угол.
Далее, на
и можно добавить к сумме слагаемое
.
Итак,
.
Далее, если поверхность
можно представить в виде объединения поверхностей
и цилиндрической поверхности, то
,и, при аналогичных условиях,
.
Поэтому, если поверхность
удовлетворяет условиям всех трех случаев, то
.
Теперь предположим, что
состоит из конечного числа тел
, разделенных гладкими поверхностями
, причем эти тела
удовлетворяют сформулированным выше условиям. Для простоты, пусть
.
Тогда
. Каждый из интегралов
преобразуем по формуле Остроградского-Гаусса как
, где взяты внешние стороны поверхностей
.
Поверхности
имеют общую часть
, причем их внешние нормали на
противоположны и интегралы по
от
взаимно сократятся, поэтому
.
Тем самым, теорема доказана.
Векторная запись формулы Остроградского. Вспомним формулировку теоремы Остроградского-Гаусса:
, где
- непрерывно дифференцируемое векторное поле,
- замкнутая поверхность, ограничивающая объем
и
- вектор внешней нормали.
Левая часть формулы имеет вид
, т.е. представляет собой поток
через внешнюю сторону
, а правую часть можно выразить следующим образом:
. Итак, векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса:
При сформулированных выше условиях
.
Криволинейный интеграл 2-го рода
Признак полного дифференциала на плоскости Если
- дифференцируемая функция двух переменных, то
. Выясним, при каких условиях на
существует такая функция
, что
, т.е.
. В предположении непрерывности смешанных производных:
или
. Докажем, что если
- односвязная область, то верно и обратное.
Формула Стокса. Ее векторная запись
Решение задач на вычисление интегралов |