Метод непосредственного интегрирования Аналитическая геометрия на плоскости Элементы  линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве Основы дифференцирования Интегрирование по частям Двойной интеграл.

Введение в математический анализ. Вычисление интеграла

Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Метод интегральной суммы. Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.

Двойной интеграл. Его основные свойства и приложения

Мы будем рассматривать функции , определенные на квадрируемом (т.е. имеющем площадь) множестве . Если вспомнить теорию определенного интеграла, то мы начинали ее изложение с понятия разбиения отрезка . По аналогии, определим разбиение квадрируемого множества , как представление множества в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, .

(Практически всегда представляет собой криволинейную трапецию или конечное объединение криволинейных трапеций. Можно считать, что и разбиение на части определяется с помощью непрерывных кривых, т.е. все - также криволинейные трапеции или их конечные объединения).

В одномерном случае мы рассматривали длины частей разбиения . В двумерном случае обобщение понятия длины будет площадь . Однако нам потребуется также и понятие диаметра. Эта величина определяется как точная верхняя грань расстояния между точками множества .

Определим диаметр разбиения как наибольший из диаметров частей этого разбиения. Приложения двойного интеграла Площадь поверхности

Далее, как и в одномерном случае, выберем точки (было: ). Пусть имеет координаты . Важную роль в дальнейшем будет играть понятие интегральной суммы. Так же, как в одномерном случае, эта величина имеет простой геометрический смысл. Интегральная сумма равна объему тела, состоящего из цилиндров с высотой (для простоты считаем, что ) и основаниями - .

Определение. Пусть - ограниченная на квадрируемом множестве функция. Пусть . Если , то будем говорить, что - интегрируемая на функция и .

Замечание. Это определение несколько отличается от одномерного, в котором отсутствовало требование ограниченности функции . Мы тогда доказывали необходимое условие интегрируемости: еслиинтегрируема на, тоограниченна на.

В двумерном случае мы накладывали это требование для того, чтобы избежать ненужных сложностей.

Критерий существования формировался в терминах сумм Дарбу вида , где , т.е. - нижняя грань, а - верхняя грань значений при .

Аналогично, обозначим, для ограниченной на функции , (эти числа существуют ввиду предполагаемой ограниченности на и, значит, на всех ) и определим суммы Дарбу равенствами . Эти величины представляют собой объемы тел, состоящих из цилиндров с основаниями и высотами, соответственно . Ясно, что при любом выборе .

Вполне аналогично одномерному случаю можно доказать критерий интегрируемости.

Теорема. Ограниченная интегрируема на квадрируемом

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема. Если непрерывна на квадрируемом множестве , то интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).

Свойства двойных интегралов

Свойство 1. Если - интегрируемые на функции, а - числа, то . Иными словами,интеграл – линейный функционал.

Свойство 2. Если - интегрируема на , причем если площадь пересечения равна 0, то .

Свойство 3. Если - интегрируемая на функция и , то .

Свойство 4. Если - интегрируемые на и , то .

Свойство 5. Если - интегрируемая на функция, то - также интегрируемая, причем .

Свойство 6. Если - интегрируемая на функция, причем , где - ограничивающие множество значений числа, то ( - площадь), т.е. : . Если, кроме того, - непрерывна на , то .

Доказывать эти свойства мы не будем – они вполне аналогичны свойствам обычного интеграла.

Можно доказать, что если - непрерывная на функция, то - интегрируема на .

Свойство 2 позволяет утверждать, что если имеет разрывы на лишь вдоль конечного числа непрерывных линий, разбивающих на квадрируемые области, то - интегрируема на , т.к., по свойству 2, интеграл по есть просто сумма конечного числа интегралов по полученным частям (где - непрерывна и, значит, интегрируема).

2.Вычисление двойного интеграла

Теорема (Фубини). Пусть непрерывна в области , ограниченной сверху графиком функции , снизу - , , а по бокам – отрезками вертикальных прямых и . Тогда .

Без доказательства.

Замечание. Если область можно ограничить так: , то .

Смысл этой теоремы ясен – указан способ сведения нового для нас объекта – двойного интеграла к уже изученным обычным интегралам.

При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену переменных , где - непрерывны в некоторой области . Впоследствии мы будем часто писать просто вместо и т.п. и, кроме того, говорить при выполнении вышеупомянутых условий, что и - непрерывно дифференцируемые в функции.

Пусть при этом формулы задают взаимно-однозначное отображение областей: . Кроме того, не стремясь к минимальности условий, потребуем, чтобы всюду на области не равнялся 0.

Теорема. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции .

Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку - непрерывная функция.

Рассмотрим разбиение области прямыми, параллельными осям . Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами .

При отображении эти точки перейдут, соответственно, в точки .

Далее, при

При малых производные , вычисленные в точках , мало отличаются от соответствующих производных, вычисленных в точке , поэтому мало отличаются от и , соответственно, и рассматриваемый четырехугольник представляет собой "почти параллелограмм".

Площади параллелограмма со сторонами равна модулю определителя , т.е. равна .

Поэтому при преобразовании интегральная сумма близка к интегральной сумме и т.к. соответствующие интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях доказываемого равенства мало отличаются друг от друга, то и интегралы совпадают.

Замечание. Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимной однозначности отображения нарушится на множестве нулевой площади.

3.Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление

Пусть требуется посчитать по области , которая задается в полярных координатах условиями .

Сделаем замену переменных .

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке соответствует целый отрезок на оси . Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить . , . .

Следовательно, .

Система линейных уравнений

Метод Гаусса решения СЛУ. На практике чаще всего используют метод Гаусса построения решений СЛУ. При этом при исследовании и решении СЛУ производятся элементарные преобразования строк расширенной матрицы : перестановка строк (это соответствует перестановке уравнений системы), сложение строк (это соответствует сложению уравнений системы), умножение строк на отличное от нуля число (это соответствует умножению уравнения системы на отличное от нуля число). Очевидно, что при указанных преобразованиях получается система, эквивалентная данной. Следовательно, после элементарных преобразований строк расширенной матрицы  получается расширенная матрица некоторой новой системы, эквивалентной данной системе.

Пространство геометрических векторов как пример линейного пространства

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях. Рассмотрим пример. Найти.

ПРАКТИКУМ по теме «Тройной интеграл» Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.
Решение задач на вычисление интегралов