Применение операторного метода для анализа процессов Прохождение сигнала через параметрические цепи первого порядка Параметрический генератор(параметрон). Анализ колебаний в нелинейных цепях.

Физика колебания и волны

Явление интерференции возникает при наложении когерент­ных волн. Когерентные волны - это волны, имеющие одинаковые частоты, постоянную раз­ность фаз, а колебания происходят в одной плоскости. Результат суперпозиции волн зависит от того, в каких фазах накладываются друг на друга колебания

Метод фазовой плоскости.

 Метод фазовой плоскости – графический метод, позволяющий качественно исследовать колебания в цепях, описываемые дифференциальными уравнениями 2го порядка. Существует несколько вариантов методов фазовой плоскости, применяемые в зависимости от постановки задачи. Обобщением методом фазовой плоскости для случаев, когда колебания описываются уравнениями более высокого порядка (n › 2) является методом фазового пространства (n – мерного). Термин «фаза» в названии метода имеет смысл ″состояние″. Если дифференциальное уравнение имеет порядок n, тогда для определения конкретного решения кроме общего вида решения необходимо также располагать n начальными условиями, например f(t0), f(1)(t0), f(2)(t0), … f(n)(t0). Эти величины можно рассматривать в качестве n – координат фазового пространства. Начальные значения координат, т.е. условия для t = t0 определяют в фазовом пространстве точку. При изменении t от t0 значения всех величин – координат изменяются, т.е. во времени изменяется положение точки, описывающей состояние колебательного процесса (в соответствии с общим решением дифференциального уравнения).

  Метод фазовой плоскости (пространства) применяется для качественного анализа процессов установления колебаний в автогенераторе, а также для анализа вынужденных колебаний в нелинейных цепях.

 В тех случаях, когда неприменимы ни один из рассмотренных методов, а также другие количественные методы, единственным, позволяющим провести качественный анализ, является метод фазовой плоскости (пространства).

  Основные определения: фазовой плоскостью называется координатная плоскость, на которой откладывается, по оси абсцисс – мгновенные значения самой функции, описывающей колебания, а по оси ординат – мгновенные значения производной той же функции (например, q(t) и i(t) =  или i(t) и  и т.д.). 

 Поскольку в реальных цепях не существует колебаний, достигающих бесконечно больших величин, все возможные состояния колебаний на фазовой плоскости располагаются в обозримой области при любых значениях t от t0 до .

 Изображающей точкой М(х,у) называется точка фазовой плоскости, координаты которой определяют состояние колебательного процесса, мгновенные значения s(t) и .

 Фазовой траекторией – называется путь движения изображающей точки по фазовой плоскости. Фазовая плоскость, заполненная фазовыми траекториями, определяющими поведение системы при любых начальных условиях, называется – фазовым портретом. Скорость перемещения изображающей точки по фазовой траектории – называется фазовой скоростью. В любой точке фазовой плоскости – эта скорость направлена по касательной к фазовой траектории, а величина её выражается через скорость изменения координат

 vx =  v vф = .

 Обычной точкой фазовой плоскости – называется точка, через которую проходит одна фазовая траектория. Простой особой точкой – называется точка, через которую проходит несколько траекторий, либо не проходит ни одна. Этим точкам соответствуют равновесные состояния цепей (систем). В этих точках и одновременно. Количество особых точек, их расположение на фазовой плоскости и характер фазовых траекторий в их окрестностях определяют характер колебательных процессов.

Кроме особых точек существенными для определения характера процесса, являются особые линии фазовой плоскости – предельные циклы и сепаратриссы.

 Предельным циклом называется замкнутая фазовая траектория к которой в пределе при t → ± ∞ стремится некоторое множество фазовых траекторий.

 Сепаратриссы – линии, разделяющие фазовую плоскость на области притяжения к особым точкам.

 Исследование колебаний в цепи методом фазовой плоскости сводится к построению фазовой траектории, соответствующей определенным начальным условиям. По фазовой траектории можно определить вид функции (график) описывающей колебательный процесс. Рассмотрим метод фазовой плоскости применительно к анализу колебаний в автогенераторе, описываемых уравнением

  . (1)

 Преобразуем это уравнение заменой  в систему уравнений

  , (2) 

и иключая время t, получим ; (3)

перейдем к уравнению, которое можно анализировать методом фазовой плоскости.

В самом общем виде нелинейные колебания определяются двумя уравнениями 1го порядка

 , (4)

Причем, описание нелинейных колебаний в виде системы уравнений (4) более обще, чем с помощью одного уравнения (1).

Резюмируя сказанное, можно наметить такую последовательность рассуждений при введении понятия потенциала: а) устанавливают факт независимости работы поля от пути перемещения заряда в поле из одной точки в другую; б) зафиксировав одну из точек (нулевая точка), характеризуют все остальные точки работой по перемещению единичного заряда из исследуемой точки в нулевую; эта характеристика — потенциал имеет смысл потенциальной энергии единичного положительного пробного заряда, помещенного в данную точку; в) модуль и знак потенциала определяются выбором нулевого уровня; г) при выборе нулевого уровня в бесконечно удаленной точке пространства потенциалы всех остальных точек поля, созданного положительным зарядом, имеют положительный знак, а потенциалы точек в поле отрицательного заряда — отрицательный знак; д) потенциалы поля, созданного совокупностью зарядов, находятся алгебраическим суммированием потенциалов полей отдельных зарядов; е) под действием поля-свободные положительные заряды движутся в сторону уменьшения потенциала, а отрицательные-—в сторону увеличения потенциала; ж) вводят понятие эквипотенциальной поверхности и устанавливают, что линии напряженности электростатического поля в точке пересечения перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону убывания потенциала; модуль вектора напряженности равен изменению потенциала на единицу длины в направлении действия силы, т. е. вдоль нормали к эквипотенциальной поверхности.

Теперь рассматривают закон Кулона, установленный с помощью фундаментального опыта. Если скорость электромагнитного поля была бы бесконечно большой, то закон Кулона был бы одинаково справедлив как для неподвижных, так и для движущихся зарядов. Но тогда понятие электромагнитного поля оказалось бы излишним, его никак нельзя было бы обнаружить. Поскольку электромагнитные сигналы распространяются с большой, но конечной скоростью, взаимодействие движущихся зарядов нельзя рассмотреть без электромагнитного поля. Подобные рассуждения убеждают десятиклассников в том, что электромагнетизм неразрывно связан с конечностью скорости света или, говоря по-иному, является релятивистским разделом физики.

СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. РАЗНОСТЬ 

ПОТЕНЦИАЛОВ, НАПРЯЖЕНИЕ, ЭДС

Для длительного существования тока в проводнике в нем должно постоянно существовать электрическое поле. Это поле должно непрерывно поддерживать движение заряженных частиц в проводнике.

На основе анализа свойств электростатического поля, с которым школьники уже знакомы, следует показать, что данный вид электрического поля не может поддерживать движение заряженных частиц в проводнике. Действительно, без восполнения энергии статическое поле не может постоянно двигать заряды, совершая при этом работу. Известно также, что разность потенциалов на любом участке цепи при постоянном токе остается неизменной.

Факт существования электромагнитного поля как внутри, так и вне проводников при протекании в них тока можно продемонстрировать экспериментально.

Электромагнитное поле постоянного тока имеет как электрическую, так и магнитную составляющую (компоненты). Но оказывается, что эти компоненты не связаны между собой и их можно изучать отдельно.

В-третьих, надо сообщить, что стационарное электрическое поле—поле потенциальное, как и электростатическое. Источниками его являются как бы неподвижные заряды.

Энергетической характеристикой стационарного электрического поля является напряжение.

Метод гармонической линеаризации (МГЛ). Метод МГЛ применим для исследования, как свободных, так и вынужденных колебаний в нелинейных цепях (системах).

Методы малого параметра. Метод последовательных приближений. Уже в прошлом столетии существовал математический аппарат, который при надлежащем развитии и обобщении мог бы быть применим для исследования нелинейных колебаний, во всяком случае, для колебаний, достаточно близких к линейным. Достаточно близкими к линейным обычно называются колебания, для которых соответствующее дифференциальное уравнение хотя и является нелинейным, но содержит некоторый параметр ε, входящий в это уравнение так, что при равенстве нулю этого параметра, нелинейное дифференциальное уравнение, вырождается в линейное с постоянными коэффициентами.

Метод медленно меняющихся амплитуд (МММА). Вывод укороченных уравнений.

Метод малого параметра. Исследование МММА колебаний в автогенераторе на туннельном диоде. Среди нелинейных дифференциальных уравнений в теории колебаний особую роль играет уравнение Ван-дер-Поля 

Метод изоклин

Особая точка – устойчивый фокус

Проиллюстрируем один из вариантов метода фазовой плоскости на примере анализа цепи с туннельным диодом

Объемные сейсмические волны. Чрезвычайно важным примером волн в упругом твердом теле являются сейсмические волны, возникающие в ограниченной области пространства (очаге) размером в несколько километров и распространяющиеся на огромные расстояния под поверхностью Земли. Эти волны бывают поперечными (волны сдвига) и продольными (сжатия и разрежения) и могут пронизывать всю нашу планету. Это позволяет (подобно рентгеновскому анализу) исследовать внутреннее строение Земли. Этим занимается отдельная наука, называемая сейсмологией. Долгое время сейсмология, одним из основателей которой является русский физик Б.Б. Голицын, была наукой о землетрясениях и сейсмических волнах. В настоящее время сейсмология занимается анализом разнообразных движений в земной толще.
Метод фазовой плоскости