Delphi | Сети | ПК | Маршрутизаторы | Моделирование | Протоколы | Экспертные системы | Удаленный доступ | Доменные имена
Аплеты | SQL | Надежность | Задачи | Информационные процессы | JAVA | Отказы изделия | Расчет надежности показателей | Инфсис

Теория массового обслуживания

Одноканальная СМО с неограниченной очередью

А теперь решим любопытный пример.

Железнодорожная касса по продаже билетов с двумя окошками представляет собой двухканальную СМО с неограниченной очередью, устанавливающейся сразу к двум окошкам (если одно окошко освобождается, ближай­ший в очереди пассажир его занимает). Касса продает билеты в два пункта: А и В. Интенсивность потока заявок (пассажиров, желающих купить билет) для обо­их пунктов А и В одинакова: lА= lВ = 0,45 (пассажи­ра в минуту), а в сумме они образуют общий поток заявок с интенсивностью lА + lв = 0,9. Кассир тратит на обслуживание пассажира в среднем две минуты. Опыт показывает, что у кассы скапливаются очереди, пассажиры жалуются на медленность обслуживания. Поступило рационализаторское предложение: вместо одной кассы, продающей билеты и в А, и в В, создать две специализированные кассы (по одному окошку в каждой), продающие билеты одна - только в пункт А, другая - только в пункт В. Разумность этого предло­жения вызывает споры - кое-кто утверждает, что оче­реди останутся прежними. Требуется проверить по­лезность предложения расчетом. Так как мы умеем считать характеристики только для простейших СМО, допустим, что все потоки событий - простейшие (на качественной стороне выводов это не скажется).

Рассмотрим два ва­рианта организации продажи билетов - существующий и предлагаемый.

Вариант I (существующий). На двухканальную СМО поступает поток заявок с интенсивностью l=0,9; интенсивность потока обслуживания m=1/2=0,5; r=l/m= 1,8. Так как r/2=0,9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (7.7) находим ро=0,0525. Среднее число заявок в очереди находим по формуле (7.10): Lоч=7,68; среднее время, проводимое заявкой в очереди, равно Wоч=8,54 (мин.).

Вариант II (предлагаемый). Надо рассмотреть две одноканальные СМО (два специализированных окош­ка); на каждую поступает поток заявок с интенсив­ностью l=0,45;  по-прежнему m равно 0,5; r=l /m =0,9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (7.10) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) Lоч==8,l. Центростремительное ускорение Физика решение задач

Вот тебе и раз! Длина очереди, оказывается, не только не уменьшилась, а увеличилась! Может быть, уменьшилось среднее время ожидания в очереди? По­смотрим. Деля Lоч на l=0,45, получим Wоч= 18 (минут).

Вот так рационализация! Вместо того, чтобы умень­шиться, и средняя длина очереди, и среднее время ожидания в ней увеличились!

Давайте попробуем догадаться, почему так про­изошло? Несложно придти к выводу: про­изошло это потому, что в первом варианте (двухка­нальная СМО) меньше средняя доля времени, которую простаивает каждый из двух кассиров, - если он не за­нят обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт А, он может заняться обслуживанием пассажи­ра, покупающего билет в пункт В, и наоборот. Во вто­ром варианте такой взаимозаменяемости нет: незаня­тый кассир просто сидит, сложа руки...

Ну, ладно, уве­личение можно объяснить, но почему оно такое сущест­венное? Дело в том, что в нашем примере обе СМО работают на пределе своих возможностей; стоит немного увеличить время обслуживания (т.е. уменьшить m), как они уже перестанут справляться с потоком пассажиров, и оче­редь начнет неограниченно возрастать. А «лишние простои» кассира в каком-то смысле равносильны уменьшению его производительности m.

Таким образом, кажущийся сначала парадоксаль­ным (или даже просто неверным) результат вычисле­ний оказывается на поверку правильным и объяс­нимым. Такого рода парадоксальными выводами, причина которых отнюдь не очевидна, богата теория массового обслуживания.

Размышляя над последней задачей, можно поставить вопрос так: ведь если касса продает билеты только в один пункт, то, естественно, время обслуживания должно уменьшиться, ну, не вдвое, а хоть сколько-нибудь, а мы считали, что оно по-прежнему в среднем равно 2 (мин.). Здесь можно поставить задачу: а на сколько на­до его уменьшить, чтобы «рационализаторское пред­ложение» стало выгодным? Снова мы встречаемся хотя и с элементарной, но все же задачей оптимиза­ции. С помощью ориентировочных расчетов даже на самых простых, марковских моделях удается прояс­нить качественную сторону явления - как выгодно поступать, а как - невыгодно. В следующем парагра­фе мы познакомимся с некоторыми элементарными немарковскими моделями, которые еще расширят на­ши возможности.

Математический анализ, лекции по физике Компьютерные сети