Delphi | Сети | ПК | Маршрутизаторы | Моделирование | Протоколы | Экспертные системы | Удаленный доступ | Доменные имена
Аплеты | SQL | Надежность | Задачи | Информационные процессы | JAVA | Отказы изделия | Расчет надежности показателей | Инфсис

Теория массового обслуживания

Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состояний имеет вид, показаный на рис.2. Это—схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью l переводит систему слева направо, а справа налево—поток обслуживания с интенсивностью m.

Прежде всего, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при t ®¥ очередь может неограниченно возрастать! Так оно и есть: финальные вероятности для такого СМО существуют не всегда, а только когда система не пере­гружена. Можно доказать, что если r строго меньше единицы (r<1), то финальные вероятности существу­ют, а при r>1 очередь при t®¥ растет неограни­ченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при r=1. Казалось бы, к системе не предъявляется невы­полнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле — не так. При r=1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот — регулярен и время обслуживания — тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно вы­пускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживания стать хотя бы чуточ­ку случайными - и очередь уже будет расти до бес­конечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» — абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может при­вести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к одноканальной СМО с неог­раниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размноже­ния выводились нами только для случая конечного чис­ла состояний, но позволим себе вольность—воспользу­емся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчи­таем финальные вероятности состояний по формулам (6.3)-(6.5). В нашем случае число слагаемых в форму­ле (6.5) будет бесконечным. Получим выражение для р0:

Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

   (7.7)

p1=rp0, p2=r2p0, …, pk=rkpo,… 

Ряд в формуле (7.7) представляет собой геомет­рическую прогрессию. Мы знаем, что при r<1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем r. При r<1 ряд расхо­дится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности со­стояний ро,…,pi, ... существуют только при r<1). Теперь предположим, что это условие выпол­нено и r < 1. Суммируя прогрессию в знаменателе, имеем

1+r+…+rk+…=1/(1-r),

тогда p0=1-r.

Как видно, вероятности p0, p1, p2,…, pk,… образуют геометрическую прогрессию со знаменателем r. Kaк это ни странно, максимальная из них ро — вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни бы­ла нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок (r < 1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Математический анализ, лекции по физике Компьютерные сети