Delphi | Сети | ПК | Маршрутизаторы | Моделирование | Протоколы | Экспертные системы | Удаленный доступ | Доменные имена
Аплеты | SQL | Надежность | Задачи | Информационные процессы | JAVA | Отказы изделия | Расчет надежности показателей | Инфсис

Теория массового обслуживания

Простейшие системы массового обслуживания и их характеристики

Решение. Номер состояния системы равен числу заявок в системе. Т.к. система с отказами, то число состояний системы равно n+1 (числу каналов в системе + нулевое состояние).

S0- в СМО нет ни одной заявки,

S1- в СМО 1 заявка (1 канал занят, остальные- свободны),

Sk- k заявок (k каналов занято),

Sn- все каналы заняты.

  l l  ll l … l 

 

 

  m 2m  3m km (k+1)m nm

Рис. 7.1. Размеченный граф состояний для M| M| n с отказами

По полученному в предыдущей лекции результату для p0 :

  (7.1)

Поскольку в результате присутствует l/m, обозначим ее r - приведенная интенсивность потока заявок, или среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки, или отношение среднего числа заявок, приходящих в единицу времени, к среднему числу заявок, обслуживаемых в единицу времени. Тогда

  (7.2)

 (7.3)

Формулы (7.2)-(7.3) для финальных вероятно­стей состояний называются формулами Эрланга—в честь основателя теории массового обслужива­ния. Большинство других формул этой теории не носит никаких специальных имен.

Таким образом, финальные вероятности найдены. По ним мы вычислим характеристики эффективности СМО.

Сначала найдем Ротк — вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслуже­на). Для этого нужно, чтобы все п каналов были за­няты, значит, Pотк=pn=p0rn/n!.

Отсюда находим относительную пропускную способность — вероятность того, что заявка будет обслу­жена:

Q=1-Ротк=1- p0rn/n!  (7.4)

Абсолютную пропускную способность получим, ум­ножая интенсивность потока заявок l на Q:

A=lQ=l (1- p0rn/n!)  (7.5)

Осталось только найти среднее число занятых ка­налов kср . Эту величину можно было бы найти «напря­мую», как математическое ожидание дискретной слу­чайной величины с возможными значениями 0, 1, ... ..., n и вероятностями этих значений р0 , .., рп:

kср == 0 • ро + 1 •p1 + 2 • р2 + ... + п • рп..

Подставляя сюда выражения (7.2-7.3) для рk, (k = О, 1, ..., п), и выполняя соответствующие преобразова­ния, мы в конце концов получили бы верную форму­лу для kср . Но мы выведем ее гораздо проще. В самом деле, нам известна абсолютная пропускная способность А. Это не что иное, как интенсивность потока обслужен­ных системой заявок. Каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем m заявок. Зна­чит, среднее число занятых каналов равно

kср=A/m. (т.к. kсрm=A), или 

kср= r(1- p0rn/n!) (7.6)

Математический анализ, лекции по физике Компьютерные сети