Delphi | Сети | ПК | Маршрутизаторы | Моделирование | Протоколы | Экспертные системы | Удаленный доступ | Доменные имена
Аплеты | SQL | Надежность | Задачи | Информационные процессы | JAVA | Отказы изделия | Расчет надежности показателей | Инфсис

Теория массового обслуживания

Уравнения Колмогорова

Теперь вернемся к системе с дискретными состояниями и непрерывным временем. Мы уже отмечали, что состояния такой системы изменяются в моменты прихода требований, в моменты обслуживания требований или в моменты, когда требование покидает систему необслуженным. Тогда процесс, происходящий в системе, можно представить как последовательность (цепочку) событий, которая может быть описана непрерывной марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния Si в любое Sj не зависит от того, когда и как система пришла в состояние Si.

Пример. Рассмотрим систему с четырьмя возможными состояниями: S1, S2, S3, S4. Размеченный граф состояний имеет вид (рис.5.1)

 


 

Рис.6.1.Размеченный граф состояний

 

Найдем вероятности состояний p1(t), p2(t), p3(t), p4(t).

Найдем, например, вероятность p1(t)- это вероятность того, что в момент t система будет находиться в состоянии S1.

Придадим t малое приращение Dt и найдем вероятность того, что в момент t+Dt система будет находиться в состоянии S1. Как это событие может произойти? Очевидно, двумя способами:

в момент t система уже была в состоянии S1, а за время Dt не вышла из этого состояния,

в момент t система была в состоянии S3, а за время Dt перешла из него в S1.

Вероятность первого варианта найдем как произведение вероятности p1(t) того, что система была в состоянии S1, на условную вероятность того, что , будучи в состоянии S1, система  за время Dt не перейдет из него в S2. Эта условная вероятность равна 1-l12Dt.

Аналогично, вероятность второго варианта равна p3(t)l31Dt. Применяя правило сложения вероятностей, получим

p1(t+Dt)=p1(t)(1-l12Dt)+ p3(t)l31Dt.

Раскроем скобки в правой части, перенесем p1(t) в левую и разделим обе части равенства на Dt:

.

Перейдем к пределу при Dt®0:

.

Таким образом, выведено дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция p1(t). Аналогичные уравнения могут быть выведены и для остальных вероятностей состояния: p1(t), p2(t), p3(t).

Резюме. Вероятности состояний системы можно найти из системы дифференциальных уравнений Колмогорова, которые составлены по следующему правилу:

в левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с этим состоянием. Если стрелка направлена из состояния, то соответствующий член имеет знак минус, если в состояние, то знак плюс. Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующей данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.

Математический анализ, лекции по физике Компьютерные сети