Вычисление интегралов методом Монте-Карло
Интегрирование по части области
Допустим, что мы можем вычислить аналитически интеграл по некоторой части B области G
, 
,
где 0<c<1. Как правило, всегда выгодно представить интеграл в виде суммы
и вычислять простейшим методом только интеграл по области G1=G-B. ( Если C близко к I, то можно считать, что мы выделяем главную часть. Однако этот прием выгоден и тогда, когда область В заметно меньше, чем G. Но тогда и понижение дисперсии будет заметно меньше).
В области G1 определим плотность p1(P)=p(P)/(1-c) и рассмотрим Z’=C+(1-c)f(Q) где Q- сл. точка с плотностью p1(P) в G1. Очевидно, что MZ=I. Поэтому для расчета I можно использовать оценку
,
где Q1,…, QN- независимые реализации точки Q. Тогда DZ’<(1-c)DZ.
Метод существенной выборки
Пусть надо вычислить интеграл вида
,
где область G может быть как ограниченной, так и неограниченной,
и квадрат функции f(P) не обязательно интегрируем. Предполагается только,
что 
Плотность p(P), определенную в G, назовем допустимой по отношению к f(P), если p(P)>0 в тех точках, где f(P)¹0.
Если p(P)>0 всюду в G, то эта плотность допустима по отношению к любым f(P) . Вообще допустимая плотность может обращаться в ноль, но только там, где f(P)=0. Множество точек, в которых f(P)=0, назовем G0 и пусть G+=G-G0.
Выберем произвольную допустимую плотность p(P) и рассмотрим функцию
.
Если Q– сл. точка, определенная в G с плотностью p(P), то
,
ибо вне множества G+ функция f(P)º0,
Для приближенного расчета I0 можно использовать независимые реализации Q1,…, QN сл. точки Q и оценку
.
Вероятная ошибка этой оценки зависит от дисперсии DZ0(Q), которую нетрудно вычислить, т.к.
Величина эта зависит от выбора плотности p(P) и даже не обязательно конечна. Естественно поставить вопрос о выборе p(P) так, чтобы минимизировать DZ0.