Коды
РС являются недвоичными циклическими кодами, символы кодовых слов которых берутся
из конечного поля GF(q). Здесь q степень некоторого простого числа, например q=2m.
Допустим, что РС-код построен над GF(8), которое является расширением поля
GF(2) по модулю примитивного многочлена f(z)=z3+z+1. В этом случае символы кодовых
слов кода будут иметь значения, представленные в таблице 6.
| Таблица 6 | |||||
| 000 | 0 | 0 | 011 | z+1 | 3 |
| 001 | 1 | 0 | 110 | z2+z | 4 |
| 010 | z | 1 | 111 | z2+z+1 | 5 |
| 100 | z2 | 2 | 101 | z2+1 | 6 |
,
где N - длина кода; Vi - q-ичные коэффициенты (символы кодовых слов), которые могут принимать любое значение из GF(q).
Эти коэффициенты как это следует из таблицы, также отображаются многочленами с двоичными коэффициентами
.
Коды РС являются максимальными, т.к. при длине кода N и информационной
последовательности k они обладают наибольшим кодовым расстоянием d=N-k+1. Порождающим многочленом g(x) РС-кода является делитель двучлена xN+1 степени меньшей N с коэффициентами из GF(q) при условии, что элементы
этого поля являются корнями g(x). Здесь 
- примитивный элемент GF(q). Maya 3D графика в кино и телевидении
Рекордный взрыв стал одной из кульминаций эпохи
холодной войны На основе этого определения, а также теоремы Безу, выражение для порождающего многочлена РС-кода будет иметь вид
. Степень g(x) равна d-1=N-k=R.
В РС-кодах принадлежность кодовых слов данному коду определяется выполнением d-1 уравнений в соответствии с выражением
(*), где Vi - символы-коэффициенты из GF(q);
z0, z1... zN-1 - ненулевые элементы GF(q).
Элементы z0, z1... zN-1 называются локаторами, т.е. указывающими на номер позиции символа кодового слова.
Например, указателем i - позиции является локатор zi или элемент i GF(q).
Так как все локаторы должны быть различны и причем ненулевыми, то их число в GF(q) равно q-1. Следовательно, такое количество символов должно быть в кодовых словах кода.Поэтому обычно длина РС-кода определяется из выражения N=q-1.
Пример. Допустим, что длина РС-кода равна N, кодовое расстояние d=3, то в соответствии с (*) проверочными уравнениями будут
Свойства РС-кодов.
1. Циклический сдвиг кодовых слов, символы которых принимают значение из GF(q), порождает новые кодовые слова этого же кода.
2. Сумма по mod2 двух и более кодовых слов дает кодовое слово, принадлежащее этому же коду.
3. Кодовое расстояние РС-кода определяется не по двоичным элементам, а по q-ичным символам.
4. В РС-коде, исправляющем tu ошибок порождающий многочлен определяется из выражения
. Обычно
m0 принимают равным 1. Однако, с помощью разумного выбора значения m0, иногда
можно упростить схему кодера. 5. Корректирующие способности РС-кода определяются его кодовым расстоянием.
где T0 и Tu - длина пакетов, в которых обнаруживаются и исправляются ошибки.
Обнаружение ошибок в кодовых словах состоит в проверке условий ((), т.е. определении синдрома
, элементы которого определяются
из выражения 
.