ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Непрерывные сообщения. Квантование и дискретизация. Теорема Котельникова
Математическая модель дискретизированного сигнала. Спектр дискретизированного сигнала
Предположим теперь, что длительность
и коэффициент А передачи ключа в замкнутом состоянии (см. (3.2)) выбраны так,
что 
. Перейдем к пределу при 0,
сохраняя произведение 
, равное площади импульса, описываемого функцией K1(t),
постоянным, т.е. полагая 
. Тогда получим 
(3.9), где (t) - дельта-функция, математическая абстракция, функция описывающая импульс
бесконечно малой ширины и единичной площади.
В соответствии с этим определением - функция описывается равенствами:
(3.10) 
и 
(3.11). Выражения (3.10) и (3.11) определяют
несмещенную - функцию. Существует понятие смещенной во времени (задержанной
(t-t0) и опережающей (t+t0)) - функции
(t t0), которая определяется так: 
(3.12) 
или 
(3.13). При вычислении интегралов с - функцией
в подинтегральном выражении обычно пользуются фильтрующим свойством d - функции,
которое выражается равенством: 
(3.14). Иногда бывает полезной следующая запись свойства
(3.14): 
(3.14а),
где a=const. С учетом изложенного вычислим предел при тех же условиях, что
и в (3.9), от выражения (3.4), определяющего АИМ сигнал:
(3.15). Первое из
равенств (3.15) означает, что в пределе при 0 АИМ сигнал превращается
в процесс с дискретным временем или дискретизированный сигнал. Второе равенство
следует из (3.4) с учетом (3.9), а последнее справедливо, т.к. в силу свойств
смещенной d - функции, описываемых (3.12) или (3.13), во всех точках 
произведения 
, в точках же 
, а 
. Выражение (3.15) есть математическая модель дискретизированного
сигнала, представляющая собой произведение непрерывной функции времени на
последовательность смещенных - функций. Рассмотрим теперь, как связаны
спектр дискретизированного сигнала X(jw) и спектр исходной непрерывной
функции X(jw). Для этого вычислим тот же самый предел от обеих частей выражения
(3.8). При этом предельном переходе изменяются лишь коэффициенты аn 
,
поэтому формула (3.8) сразу дает спектр X(jw) дискретной функции 
, если в нее подставить соответствующие
значения а=const, получающиеся из (3.6) при 0, . Из (3.6) находим 
; n=0,1,2... после чего (3.8)
принимает вид: 
(3.16). Выражение (3.16) показывает, что спектр дискретизированного
сигнала является бесконечным и периодическим с периодом равным w.
Эти утверждения иллюстрируются графиками, представленными на рисунке 3.5.
На рисунке показаны: спектр непрерывного сигнала, ограниченный частотой wm
(рисунок а) и спектры дискретизированного сигнала, соответствующие различным
частотам дискретизации (рисунки б-г).