Теория информационных процессов Электронный учебник

В дисциплине рассматриваются теоретические основы описания информационных процессов и систем. Изучается аппарат теории цепей Маркова (в частности процессы размножения и гибели) для представления элементов информационно-вычислительных систем, например совокупностей процессоров, буферов обмена данными, дисководов, серверов и различных сетевых архитектур. На основе теории массового обслуживания даются понятия о качественном анализе данных элементов (например, оценивание эффективности используемого оборудования). Изучаются методы агрегативного представления информационных систем, имеющих сложную структуру.

ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Непрерывные сообщения. Квантование и дискретизация. Теорема Котельникова

АИМ - сигнал и его спектр

Практическая реализация процесса дискретизации может быть осуществлена с помощью упрощенной схемы, показанной на рисунке 3.3.а, временные диаграммы, характеризующие ее работу даны на рисунке 3.3.б.

Электронный ключ управляется последовательностью коротких, но имеющих конечную длительность , импульсов uу(t), следующих с периодом t, равным шагу дискретизации, т.е. интервалу времени между соседними выбираемыми в процессе дискретизации значениями сигнала. На время действия импульса ключ замыкается, и выход схемы оказывается подключенным ко входу. В результате графики сигналов на входе и выходе схемы будут иметь вид, показанный на рисунке 3.3.б.



Для математического описания рассмотренного процесса введем функцию (3.1), описывающую коэффициент передачи данной схемы, изменяющейся во времени. И функцию K1(t), показанную на рисунке 3.4 и описывающую значение коэффициента передачи для случая, соответствующего подаче на управляющий вход ключа не последовательности, а одного управляющего импульса.




Как видно из рисунка 3.4.


При этом, если начало координат на рисунке (3.3.б) сместить по оси времени в середину одного из управляющих импульсов, в предположении бесконечного времени работы схемы можно записать:


В итоге с учетом (3.1) и (3.3) выходной сигнал теперь можно представить в виде:


Функция , получаемая в результате реально выполнимой дискретизации (т.е. при конечной длительности ), называется амплитудно-импульсно-модулированным сигналом (сокращенно АИМ-сигналом).
Как известно, наряду с описанием сигналов посредством задания их мгновенных значений в виде формул, определяющих зависимости от времени X(t), и т.д. (т.е. во временной области, т.к. аргумент - время t), существует и другой способ - спектральное представление сигналов, при котором сигналы задаются спектрами. При этом каждому виду сигнала x(t) соответствует свой спектр X(jw), связанный с x(t) преобразованием Фурье. Таким образом, исходный x(t) и полученный из него в результате реальной дискретизации АИМ сигнал имеют спектры соответственно X(jw) и . Используя выражение (3.4), связывающее эти сигналы, установим, как связаны их спектры. Для этого заменим в (3.4) K(t) ее разложением в ряд Фурье, а затем воспользуемся свойствами преобразования Фурье. Поскольку в соответствии с (3.3) и (3.4) K(t) - четная периодическая функция с периодом t она может быть разложена на своем периоде от до в ряд Фурье следующем образом: (3.5), где , n=0,1,2..., косинус - коэффициенты ряда Фурье. Поскольку в соответствии с (3.3) на интересующем нас интервале от до K(t)=K1(t), последнее выражение модно записать так: , откуда, учитывая (3.2) и вычисляя интеграл получаем (3.6). Подставляя ряд (3.5) в первое из равенств (3.4) имеем (3.7), где - круговая частота следования отсчетных импульсов (частота дискретизации).
Как известно, преобразование Фурье обладает следующими свойствами:

1) Если x(t) имеет преобразование фурье X(jw), то , где C=const имеет

преобразование фурье

;


2) Преобразование фурье суммы функций времени равно сумме преобразований фурье от каждой из этих функций;

3) Если x(t) имеет преобразование фурье X(jw), то имеет преобразование фурье:

.

Вычисляя с учетом этих свойств преобразования Фурье от обеих частей выражения (3.7), получаем равенство, связывающее спектры и X(jw)

сигналов

и

x(t)

:

(3.8). Полученное выражение показывает, что спектр АИМ сигнала представляет собой сумму спектра исходного непрерывного сигнала, умноженного на , и смещенных влево и вправо копий спектра X(jw), умноженных на коэффициенты an. При 0 (импульсы конечной длительности) слагаемые спектра, соответствующие n>0 затухают с ростом n, так как в соответствии с (3.6) в этом случае затухают коэффициенты an. Рассмотренный АИМ сигнал тем ближе к интересующему нас процессу с дискретным временем, чем меньше длительность управляющих импульсов.


Математический анализ, лекции по физике Компьютерные сети