ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Непрерывные сообщения. Квантование и дискретизация. Теорема Котельникова
АИМ - сигнал и его спектр
Практическая реализация процесса дискретизации может быть осуществлена с помощью упрощенной схемы, показанной на рисунке 3.3.а, временные диаграммы, характеризующие ее работу даны на рисунке 3.3.б.
Электронный ключ управляется последовательностью коротких, но имеющих конечную длительность , импульсов uу(t), следующих с периодом t, равным шагу дискретизации, т.е. интервалу времени между соседними выбираемыми в процессе дискретизации значениями сигнала. На время действия импульса ключ замыкается, и выход схемы оказывается подключенным ко входу. В результате графики сигналов на входе и выходе схемы будут иметь вид, показанный на рисунке 3.3.б.
Для математического описания рассмотренного
процесса введем функцию 
(3.1), описывающую коэффициент передачи данной схемы, изменяющейся
во времени. И функцию K1(t), показанную на рисунке 3.4 и описывающую значение
коэффициента передачи для случая, соответствующего подаче на управляющий вход
ключа не последовательности, а одного управляющего импульса.
Как видно из рисунка 3.4.
При этом, если начало координат на рисунке (3.3.б) сместить по оси времени в середину одного из управляющих импульсов, в предположении бесконечного времени работы схемы можно записать:
В итоге с учетом (3.1) и (3.3) выходной
сигнал 
теперь можно
представить в виде:
Функция , получаемая в результате реально выполнимой дискретизации
(т.е. при конечной длительности ), называется амплитудно-импульсно-модулированным
сигналом (сокращенно АИМ-сигналом).
Как известно, наряду с описанием сигналов посредством задания их мгновенных
значений в виде формул, определяющих зависимости от времени X(t),
и т.д. (т.е. во временной области,
т.к. аргумент - время t), существует и другой способ - спектральное представление
сигналов, при котором сигналы задаются спектрами. При этом каждому виду сигнала
x(t) соответствует свой спектр X(jw), связанный с x(t) преобразованием Фурье.
Таким образом, исходный x(t) и полученный из него в результате реальной дискретизации
АИМ сигнал имеют спектры соответственно X(jw) и 
. Используя выражение (3.4), связывающее
эти сигналы, установим, как связаны их спектры. Для этого заменим в (3.4)
K(t) ее разложением в ряд Фурье, а затем воспользуемся свойствами преобразования
Фурье. Поскольку в соответствии с (3.3) и (3.4) K(t) - четная периодическая
функция с периодом t она может быть разложена на своем периоде от
до 
в ряд Фурье следующем образом:
(3.5), где 
,
n=0,1,2..., косинус - коэффициенты ряда Фурье. Поскольку в соответствии с
(3.3) на интересующем нас интервале от до K(t)=K1(t), последнее выражение модно записать так: 
,
откуда, учитывая (3.2) и вычисляя интеграл получаем 
(3.6). Подставляя ряд (3.5) в первое из равенств (3.4)
имеем 
(3.7), где 
- круговая частота следования отсчетных
импульсов (частота дискретизации).
Как известно, преобразование Фурье обладает следующими свойствами:
1) Если x(t) имеет преобразование фурье
X(jw), то 
, где C=const
имеет
|
преобразование фурье |
|
; |
2) Преобразование фурье суммы функций времени равно сумме преобразований фурье
от каждой из этих функций;
3) Если x(t) имеет преобразование фурье X(jw), то 
имеет преобразование фурье:
|
|
. |
Вычисляя с учетом этих свойств преобразования
Фурье от обеих частей выражения (3.7), получаем равенство, связывающее спектры
и X(jw)
|
сигналов |
|
и |
x(t) |
: |
(3.8). Полученное выражение показывает, что спектр АИМ
сигнала представляет собой сумму спектра исходного непрерывного сигнала, умноженного
на 
, и смещенных влево
и вправо копий
спектра X(jw), умноженных на коэффициенты an. При 0 (импульсы
конечной длительности) слагаемые спектра, соответствующие n>0 затухают
с ростом n, так как в соответствии с (3.6) в этом случае затухают коэффициенты
an. Рассмотренный АИМ сигнал тем ближе к интересующему нас процессу с дискретным
временем, чем меньше длительность управляющих импульсов.