Основные представления об электричестве Плотность тока и закон Ома Примеры решения задач к контрольной работе Электромагнетизм Закон Ома Электромагнитная индукция Магнитное поле в веществе Основы электродинамики

Методика решения задач по физике. Примеры решения задач к контрольной работе

Плотность тока и закон Ома в локальной (дифференциальной) форме

Рассмотрим провод длиной l и поперечного сечения S. Сопротивление провода R = r l/S, где r – удельное сопротивление провода. Пусть по проводу течет ток J, тогда по закону Ома к концам провода приложено напряжение U = J R = J r l/S. Запишем это иначе U/l = r J/S и учтем, что величина U/l = E есть напряженность электрического поля в проводе. Тогда получаем E = r J/S или

E = r j, (4.5.1)

где

 j = J/S – (4.5.2)

так называемая плотность электрического тока (или просто – плотность тока). Если сила тока J дает нам значение заряда, протекающего в единицу времени через всё сечение провода, то плотность тока дает значение заряда, протекающего в единицу времени через единицу площади сечения провода.

Вместо удельного сопротивления r часто используют связанную с ней величину

 g = 1/r,  (4.5.3)

называемую удельной электропроводностью вещества, или просто – проводимостью. (В разных книгах для нее могут использоваться разные обозначения, например, s или l.) Тогда формулу (4.5.1) записывают в виде

  j = g E. (4.5.1’)

О формулах (4.5.1) и (4.5.1’) говорят как о законе Ома в дифференциальной (или локальной) форме.

С плотностью тока связана еще одна важная величина – средняя скорость V направленного движения носителей заряда (или – скорость дрейфа носителей заряда). Связь эта дается формулой

 j = q n V, (4.5.4)

где q – заряд носителей, а n – их концентрация, т.е. число частиц в единице объема. (Часто для средней скорости используют более громоздкое обозначение, а именно <V>.) В случае если заряд переносится электронами, q = e; тогда j = e n V.

Приведем еще характерные значения удельных сопротивлений при Т = 300 К (и концентраций электронов проводимости при той же температуре) некоторых важных с бытовой точки зрения:

металлов:

серебро – r = 1.6´10-8 Ом м (n » 5.9´1022 см-3); медь – r = 1.7´10-8 Ом м (n » 8.4´1022 см-3); алюминий – r = 2.8´10-8 Ом м; олово – r = 12´10-8 Ом м; вольфрам – r = 5.5´10-8 Ом м; нихром (сплав) – r = 1.1´10-6 Ом м;

чистых полупроводников:

германий – r = 0.47 Ом м (ni » 2.4´1013 см-3); кремний – r = 2.3´103 Ом м (ni » 1.4´1010 см-3); антамонид индия (InSb) – r = 4.5´10-5 Ом м (ni » 1.7´1010 см-3); арсенид галлия (GaAs) – r = 6.4´105 Ом м (ni » 1.1´107 см-3);

диэлектриков:

древесина – r порядка 109¸1010 Ом м; стекло – r порядка 109¸1013 Ом м; резина мягкая – r=4´1013 Ом м; эбонит – r порядка 1016 Ом м; янтарь – r порядка 1016 Ом м;

удельное сопротивление воды: дистиллированной – порядка 103¸104 Ом м; речной – r порядка 10¸100 Ом м; морской – r порядка 0.3 Ом м;

удельное сопротивление воздуха порядка 1015¸1018 Ом м.

(*) Большинство вопросов и задач по теме «Постоянный электрический ток» так или иначе связаны с законом Ома. Не многие, однако, задумывались, а почему вообще справедлив закон Ома?

Уточним вопрос. Рассмотрим сначала такой пример. Пусть пучок электронов, распространяющихся в вакууме, пересекает две сетки – сначала сетку №1, а затем №2. Пусть обе они включены в некоторую электрическую цепь, а их потенциалы равны j1 и j2, причем, потенциал второй сетки больше потенциала первой, j1 < j2, так что электрическое поле E направлено от второй сетки к первой. При пролете электронов промежутка между сетками, сила со стороны поля, действуя на каждый электрон, совершит работу A = - e (j1 - j2). В результате кинетическая энергия каждого электрона увеличится на величину

DK = mV22/2 - mV12/2 = e (j2 - j1).

Увеличится при прохождении электронами промежутка между сетками и скорость каждого электрона в пучке. Здесь всё совершенно ясно.

А теперь рассмотрим проводник, к концам которого приложена постоянная разность потенциалов j1 - j2. Тогда по закону Ома в проводнике будет течь постоянный ток J = (j1 - j2)/R. Постоянный ток, однако, предполагает постоянную (не меняющуюся со временем) скорость упорядоченного (дрейфового) движения электронов, пропорциональную напряженности электрического поля

V = (J/S)/(nee) µ j1 - j2 µ E.

Спрашивается: почему же здесь электроны не ускоряются, а движутся с постоянной скоростью? Наличие постоянного электрического поля в проводнике, казалось бы, должно приводить к постоянному ускорению электронов a = eE/m, а не постоянной скорости? – Всё дело здесь, разумеется, в том, что провод оказывает сопротивление движению электронов.

Первая микроскопическая теория, учитывающая эту силу сопротивления и впервые объяснившая как закон Ома, так и закон Джоуля – Ленца, была предложена немецким физиком П. Друде. По этой теории движение электронов из-за их рассеяния несовершенствами кристаллической решетки оказывается довольно сложным – вовсе не равноускоренным, однако и не равномерным. Постоянной оказывается лишь средняя (по времени) скорость упорядоченного движения.

Чаще всего теорию Друде излагают, рассматривая отдельно движение электрона в промежутке между актами рассеяния и отдельно сами акты рассеяния. Реже можно найти другую трактовку теории Друде, которая по мнению автора обладает своими несомненными достоинствами. Учтем акты рассеяния электронов некоторой эффективной силой сопротивления, действующей непрерывно на электроны. Уравнение движения электрона запишем в виде

  (4.5.5)

и будем считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости движения электронов: Fсопрµ–V. Коэффициент пропорциональности должен иметь размерность массы, деленной на время, поэтому положим

. (4.5.6)

При этом уравнение движения электрона запишется в виде

 . (4.5.5’)

Мы не станем решать этого дифференциального уравнения (хотя трудностей здесь никаких нет), - достаточно немного порассуждать. Предположим, что электрическое поле включается в некоторый «нулевой» момент времени t=0, когда электрон еще не имел никакой скорости упорядоченного движения. В этот момент и сила сопротивления = 0. Далее электрон начинает разгонятся электрическим полем. При этом его скорость растет, а с ней появляется и начинает расти сила сопротивления. Ускорение электрона уменьшается за счет роста силы сопротивления. Наконец, наступает «момент», когда при неизменной силе со стороны поля скорость электрона вырастет настолько (а с ней вырастет и сила сопротивления), что обе силы (разгоняющая со стороны поля и тормозящая со стороны решетки) сравняются по величине. Движение электрона при этом выйдет на стационарный режим – с равным нулю ускорением (dV/dt =0) и постоянной скоростью упорядоченного движения

V = e E t/m. (4.5.7)

Вычисление плотности тока при этом дает

 j = e n V = (n e2 t/m) E = g E = E/r

что как раз совпадает с законом Ома в дифференциальной форме.

Что здесь существенно? – Если бы сила сопротивления была пропорциональна не первой, а например, 2-й степени скорости (Fсопр=–b V2), то мы не получили бы закона Ома: скорость установившегося движения, а вместе с ней и плотность тока, в этом случае были бы пропорциональны не E, а E1/2. Реально, в металлах закон Ома (пропорциональность плотности тока именно первой степени E) выполняется с очень хорошей точностью. В полупроводниках (когда в них существуют большие тянущие электрические поля) закон Ома может нарушаться. Так бывает, например, в тех случаях, когда тянущее поле столь велико, что дрейфовая скорость электронов оказывается сравнимой со средней скоростью их теплового движения.

Задачи.

В проводнике переменного сечения течет ток. Диаметр широкого участка в 2 раза больше, чем узкого. Во сколько раз различаются скорости упорядоченного движения электронов на этих двух участках? [Скорость на узком участке в 4 раза больше]

Когда молния ударяет в землю, то за время порядка 1 мс = 10-3 с по каналу молнии из грозовой тучи на землю (или наоборот) проходит заряд порядка 10 кулон. При этом ток в импульсе достигает значения 104 ампер. (Бывают молнии как более длительные, так и переносящие большие заряды.) С другой стороны, по малюсенькой нити накаливания в лампочке карманного фонаря (работающего от батарейки в 1.5 В) течет ток примерно в 0.2 ампера. Легко сообразить, что за время 10 секунд по нити пройдет заряд в 2 кулона. Это всего в 5 раз меньше заряда, переносимого молнией! – Не ошибаемся ли мы в своих оценках? – Нет, оказывается, не ошибаемся. Дело в том, в металлах ток переносится чудовищно большим числом электронов. Оценить полное число электронов и их суммарный заряд, например, в одном кубическом сантиметре медного проводника и в одном килограмме его. [Концентрация атомов меди nат = 8.5´1022 см-3. Такой же будет концентрация электронов ne, участвующих в переносе заряда. Суммарный заряд всех электронов проводимости меди в 1 см3 равен 1.36´104 Кл. и 1.5 миллиона кулон в каждом килограмме]

Оценить, какой бывает реально скорость упорядоченного движения в металлах? Оценку провести для медного провода с сечением S = 1 мм2 = 10-6 м2 , по которому течет ток J = 1 А, что соответствует достаточно большой плотности тока j = J/S = 106 A/м2 (при плотностях тока в 108 А/м2 металлы обычно уже плавятся). [0.07 мм/с]

Какой величины бывают электрические поля в металлических проводниках, когда по ним течет ток? Оценку провести для медного провода сечением S = 1 мм2 = 10-6 м2 и тока J = 10 ампер (что соответствует плотности тока j = J/S=107 A/м2, лишь в 10 раз меньше максимально допустимой). [0.17 В/м <0.2 В/м]

Решить уравнение  (4.5.5’). [V(t) = (eE/m) (1 – exp(– t/t))]

Оценить время t в формуле для электропроводности g = 1/r = n e2 t/m, положив вместо m массу электрона 0.9´10-30 кг и, как это имеет место для меди, r = 1.7´ 10-8 Ом м, n = 8.44´1028 м-3. [t » 2.5 10-14 с.]

Известно много случаев, когда лошадь или корову убивало током от оборвавшегося провода. Оценить напряжение, под которым может оказаться человек, приблизившийся к проводу, коснувшемуся земли. По проводу на землю течет ток J = 1A, который затем растекается по грунту с удельным сопротивлением r = 102 Ом м. [, где L – расстояние от провода до ближайшей ноги человека, l – длина его шага. Положим для оценки l = 1 м. Тогда при расстоянии L = 2 м получим Uш » 2.7 В. При этом по человеку пойдет ток J= Uш/Rчел, что для Rчел = 15 кОм составит менее 0.2 мА. Сопротивление человека может быть и много меньше, например, всего 1 кОм; при этом по человеку пойдет ток уже почти в 3 мА. А если он приблизится к проводу на меньшее расстояние, то этот ток может оказаться настолько большим, чтобы стать опасным для жизни человека. Например, при расстоянии от провода до ближайшей ноги человека L=0.5 м мы получим ток более 20 мА, который уже весьма опасен.]

Известно, как опасно во время грозы укрываться под деревом. При попадании молнии в дерево ток, ударивший в вершину начинает распространяться по неплохо проводящему стволу, а затем через корни растекаться по земле. При этом в почве будет, хотя и короткое время, существовать довольно сильное электрическое поле, а между любыми двумя точками будет существовать разность потенциалов. Оценить, какое напряжение возникнет между ступнями человека, который будет стоять на расстоянии 1 м от дерева, а расстояние между ступнями составит 30 см. Для средней по силе молнии ток в импульсе равен 30 кА. Удельное сопротивление грунта r = 200 Ом м. [200 000 вольт]

Электрический ток Сила тока Электрическим током называется направленное движение электрических зарядов (например, в канале молнии, в проводе, в электронно-лучевой трубке телевизора). Силой тока называется количество заряда, проходящего через всё сечение провода в единицу времени

Закон Джоуля – Ленца В проводнике с конечным (не равным нулю) сопротивлением при протекании по нему электрического тока непрерывно выделяется тепло (проводник нагревается). Количество тепла, выделяющееся в единицу времени называют тепловой мощностью (или мощностью тока)

Зависимость сопротивления от температуры Зависимость сопротивления металлов (но не полупроводников!) от температуры в широком диапазоне температур хорошо описывается линейной функцией R(t) = R0 (1 + a t)


На главную